Bài 9.15 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh tam giác AED đồng dạng BEC

Bài 9.15 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 9.30. Biết rằng ∠BAC = ∠CDB

Chứng minh rằng ΔAED ∽ ΔBEC.

Phân tích bài toán

Để chứng minh $\Delta AED \backsim \Delta BEC$, chúng ta quan sát thấy hai tam giác này đã có một cặp góc bằng nhau là $\widehat{AED} = \widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Tuy nhiên, ta chưa có thêm cặp góc nào khác hoặc tỉ số cạnh liên quan trực tiếp. Do đó, chiến thuật ở đây là:

1. Chứng minh một cặp tam giác khác đồng dạng trước (tam giác trung gian là $\Delta AEB$ và $\Delta DEC$) để rút ra tỉ số cạnh.

2. Sử dụng tỉ số cạnh đó kết hợp với góc đối đỉnh để chứng minh $\Delta AED \backsim \Delta BEC$ theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

Giải bài 9.15 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Bước 1: Chứng minh $\Delta AEB \backsim \Delta DEC$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta DEC$ có:

• $\widehat{BAE} = \widehat{CDE}$ (theo giả thiết $\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$);

• $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó, $\Delta AEB \backsim \Delta DEC$ (theo trường hợp góc – góc).

Từ tính chất tam giác đồng dạng, ta suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:

Từ tỉ lệ thức này, ta có thể hoán đổi vị trí để được:

Bước 2: Chứng minh $\Delta AED \backsim \Delta BEC$

Xét $\Delta AED$ và $\Delta BEC$ có:

• $\widehat{AED} = \widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh);

• $\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE}$ (chứng minh ở bước 1).

Do đó, $\Delta AED \backsim \Delta BEC$ (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Ngộ nhận đồng dạng ngay lập tức: Nhiều bạn chỉ ra góc đối đỉnh rồi kết luận luôn hai tam giác đồng dạng mà không có thêm dữ kiện. Hãy nhớ trường hợp (g.g) cần 2 cặp góc, còn (c.g.c) cần góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ.

• Nhầm lẫn khi lập tỉ số cạnh: Đây là lỗi rất phổ biến. Khi từ $\Delta AEB \backsim \Delta DEC$ suy ra tỉ số, bạn cần viết đúng: $AE$ ứng với $DE$, $EB$ ứng với $EC$. Nếu viết sai thứ tự này, bạn sẽ không thể thực hiện được Bước 2.

• Không đọc kỹ tên góc: Giả thiết cho $\widehat{BAC} = \widehat{CDB}$, trong sơ đồ hình 9.30 thì đây chính là các góc tại đỉnh $A$ và đỉnh $D$ của hai tam giác trung gian.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán có hai đoạn thẳng cắt nhau tạo thành hình "cái nơ" (như $AC$ cắt $BD$ tại $E$), bạn hãy nhớ quy luật:

Nếu hai tam giác "cánh nơ" phía trên và phía dưới đồng dạng theo trường hợp (g.g), thì hai tam giác "cánh nơ" bên trái và bên phải cũng sẽ đồng dạng theo trường hợp (c.g.c).

Quy luật này giúp bạn định hướng nhanh phương pháp giải bài toán chứng minh bắc cầu qua tỉ số cạnh!