Bài 9.14 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh tam giác AEF đồng dạng ECD

Bài 9.14 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho các điểm A, B, C, D, E, F như Hình 9.29. Biết rằng DE // AB, EF // BC, DE = 4 cm, AB = 6 cm. Chứng minh rằng ΔAEF ∽ ΔECD và tính tỉ số đồng dạng.

Phân tích bài toán

• Chứng minh đồng dạng: Ta cần tìm các cặp góc bằng nhau dựa trên giả thiết song song ($DE \parallel AB, EF \parallel BC$).

  • Các góc đồng vị sẽ bằng nhau.

  • Sử dụng tính chất hình bình hành $EFBD$ để liên kết các góc và cạnh giữa hai tam giác.

• Tính tỉ số đồng dạng: Tỉ số đồng dạng $k$ của $\Delta AEF$ và $\Delta ECD$ chính là tỉ số giữa các cạnh tương ứng, ví dụ $k = \frac{AF}{ED}$. Ta sẽ tính $AF$ dựa trên độ dài $AB$ và $BF$.

Giải bài 9.14 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Chứng minh $\Delta AEF \backsim \Delta ECD$

• Xét cặp góc thứ nhất:

  Vì $EF \parallel BC$ (theo giả thiết), nên ta có:

  $$\widehat{AEF} = \widehat{ECD} \text{ (hai góc ở vị trí đồng vị)} \quad (1)$$

• Xét cặp góc thứ hai:

  Ta có $EF \parallel BC \Rightarrow EF \parallel BD$.

  Lại có $DE \parallel AB \Rightarrow DE \parallel FB$.

  Tứ giác $EFBD$ có các cặp cạnh đối song song nên $EFBD$ là hình bình hành.

  Từ tính chất hình bình hành, ta có các góc đối bằng nhau: $\widehat{EFB} = \widehat{EDB}$.

  Mặt khác:

  • $\widehat{EFB} + \widehat{AFE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

  • $\widehat{EDB} + \widehat{EDC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

    Suy ra: $\widehat{AFE} = \widehat{EDC} \quad (2)$

Từ (1) và (2), xét $\Delta AEF$ và $\Delta ECD$ có hai cặp góc bằng nhau.

Do đó, $\Delta AEF \backsim \Delta ECD$ (theo trường hợp góc – góc).

b) Tính tỉ số đồng dạng

Vì $EFBD$ là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau: $BF = ED = 4$ cm.

Ta có điểm $F$ nằm trên đoạn $AB$, suy ra:

Vì $\Delta AEF \backsim \Delta ECD$ (chứng minh ở câu a), tỉ số đồng dạng $k$ là:

Kết luận: $\Delta AEF \backsim \Delta ECD$ với tỉ số đồng dạng là $1/2$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không nhận ra hình bình hành: Học sinh thường lúng túng khi chứng minh $\widehat{AFE} = \widehat{EDC}$. Việc phát hiện tứ giác $EFBD$ là hình bình hành là chìa khóa để giải quyết bài toán này.

• Nhầm lẫn tỉ số đồng dạng: Một số bạn tính $k = \frac{ED}{AF} = 2$. Hãy nhớ: Tỉ số đồng dạng bằng cạnh của tam giác viết trước chia cho cạnh tương ứng của tam giác viết sau.

• Thiếu lập luận kề bù: Khi khẳng định $\widehat{AFE} = \widehat{EDC}$, cần ghi rõ lý do cùng bù với hai góc bằng nhau để bài làm chặt chẽ hơn.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán có nhiều đường song song lồng nhau, bạn có thể sử dụng mẹo "Dịch chuyển góc":

1. Để so sánh góc $F$ của tam giác trên và góc $D$ của tam giác dưới, hãy mượn góc $B$ của hình bình hành làm trung gian.

2. Với tỉ số đồng dạng, hãy luôn tìm cách đưa các đoạn thẳng về cùng một đường thẳng (như cách đưa $BF$ và $AF$ về cùng nằm trên $AB$) để thực hiện phép trừ độ dài.