Bài 9.13 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức: Tam giác đồng dạng trong hình thang

Bài 9.13 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ∠DAB = ∠DBC (hình 9.28)

a) Chứng minh rằng ΔABD ∽ ΔBDC. 

b) Giả sử AB = 2 cm, AD = 3 cm, BD = 4 cm. Tính độ dài các cạnh BC và DC.

Phân tích bài toán

• Câu a: Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần tìm các cặp góc bằng nhau. Lưu ý giả thiết hình thang ($AB \parallel CD$) luôn cho ta các cặp góc so le trong bằng nhau. Kết hợp với giả thiết góc $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$, ta sẽ chứng minh được theo trường hợp góc - góc (g.g).

• Câu b: Khi đã có hai tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số các cạnh tương ứng. Thay số liệu đã biết vào tỉ số này để tìm các cạnh còn lại.

Giải bài 9.13 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

a) Chứng minh $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$

Vì $AB \parallel CD$ (theo giả thiết), nên ta có:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BDC$ có:

• $\widehat{DAB} = \widehat{DBC}$ (theo giả thiết);

• $\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ (chứng minh trên).

Do đó, $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ (theo trường hợp góc – góc).

b) Tính độ dài các cạnh $BC$ và $DC$

Từ kết quả $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$, ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

Thay số liệu $AB = 2$ cm, $AD = 3$ cm, $BD = 4$ cm vào tỉ số trên:

Ta có tỉ số đồng dạng là $k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Từ đây suy ra:

• Tính $BC$: $\frac{3}{BC} = \frac{1}{2} \Rightarrow BC = 3 \times 2 = 6$ (cm).

• Tính $DC$: $\frac{4}{DC} = \frac{1}{2} \Rightarrow DC = 4 \times 2 = 8$ (cm).

Kết luận: Độ dài các cạnh là $BC = 6$ cm và $DC = 8$ cm.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn các cặp cạnh tương ứng: Đây là lỗi phổ biến nhất. Học sinh thường viết $\frac{AB}{CD}$ thay vì $\frac{AB}{BD}$. Hãy nhớ: Đỉnh $A$ ứng với $B$, $B$ ứng với $D$, $D$ ứng với $C$. Do đó cạnh $AB$ phải ứng với cạnh $BD$.

• Quên điều kiện so le trong: Nhiều bạn sử dụng góc $\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ nhưng không nêu rõ lý do $AB \parallel CD$. Điều này làm bài toán thiếu chặt chẽ.

• Tính toán sai tỉ số: Khi có $\frac{2}{4} = \frac{3}{BC}$, một số bạn tính nhầm thành $BC = \frac{2 \times 3}{4} = 1,5$ (do nhầm vị trí nhân chéo). Hãy cẩn thận kiểm tra lại phép tính.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài toán hình thang có đường chéo tạo ra các tam giác đồng dạng như thế này, bạn có thể áp dụng mẹo "Bình phương đường chéo":

Nếu $\Delta ABD \backsim \Delta BDC$ thì $BD^2 = AB \cdot DC$.

Kiểm tra lại bài này: $4^2 = 2 \cdot 8$ (Đúng $16 = 16$).

Mẹo này giúp bạn tính nhanh cạnh đáy $DC$ hoặc đường chéo $BD$ trong các câu hỏi trắc nghiệm mà không cần trình bày dài dòng!