Bài 9.16 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức: Tính độ dài đoạn thẳng MN trong hình thang

Bài 9.16 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) và các điểm M, N lần lượt trên cạnh AD và BC sao cho 2AM = MD, 2BN = NC. Biết AB = 5 cm, CD = 6 cm, hãy tính độ dài đoạn thẳng MN.

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán vận dụng linh hoạt định lý Thales và tính chất tam giác đồng dạng.

• Dữ kiện tỉ số: Từ $2AM = MD \Rightarrow \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}$ và $\frac{AM}{AD} = \frac{1}{3}$. Tương tự với $N$ trên cạnh $BC$.

• Phương pháp: Ta tạo ra một điểm phụ $I$ trên đường chéo $AC$ bằng cách kẻ đường thẳng qua $M$ song song với hai đáy. Việc chứng minh $M, I, N$ thẳng hàng là bước then chốt để tính tổng độ dài $MN = MI + IN$.

Giải bài 9.16 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Bước 1: Xác định điểm phụ và chứng minh tính thẳng hàng

Vẽ đường thẳng qua $M$ song song với $CD$, cắt đường chéo $AC$ tại $I$.

• Trong $\Delta ADC$, vì $MI \parallel CD$, theo định lý Thales ta có:

  $$\frac{AI}{IC} = \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}$$

• Theo giả thiết $2BN = NC \Rightarrow \frac{BN}{NC} = \frac{1}{2}$.

  Suy ra $\frac{AI}{IC} = \frac{BN}{NC} = \frac{1}{2}$.

• Trong $\Delta ABC$, theo định lý Thales đảo, từ tỉ lệ thức trên suy ra $NI \parallel AB$.

• Vì $MI \parallel CD$, $NI \parallel AB$ mà $AB \parallel CD$ nên $MI \parallel NI \parallel AB \parallel CD$. Theo tiên đề Euclid, ba điểm $M, I, N$ phải thẳng hàng.

Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng $MI$

Vì $MI \parallel CD$, theo hệ quả định lý Thales ta có $\Delta AMI \backsim \Delta ADC$:

Mà $AD = AM + MD = AM + 2AM = 3AM \Rightarrow \frac{AM}{AD} = \frac{1}{3}$.

Do đó: $MI = \frac{1}{3} \cdot DC = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \text{ (cm)}$.

Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng $IN$

Vì $NI \parallel AB$, theo hệ quả định lý Thales ta có $\Delta CIN \backsim \Delta CAB$:

Mà $CB = CN + NB = CN + \frac{1}{2}CN = \frac{3}{2}CN \Rightarrow \frac{CN}{CB} = \frac{2}{3}$.

Do đó: $IN = \frac{2}{3} \cdot AB = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \text{ (cm)}$.

Bước 4: Tính độ dài $MN$

Vì $M, I, N$ thẳng hàng nên:

Kết luận: Độ dài đoạn thẳng $MN$ là $16/3$ cm (khoảng 5,33 cm).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Ngộ nhận $MN \parallel AB$: Nhiều bạn thừa nhận ngay $MN$ song song với hai đáy mà không qua bước chứng minh trung gian với điểm $I$. Điều này làm bài toán mất đi tính logic.

• Sai tỉ số đồng dạng: Nhầm lẫn giữa tỉ lệ đoạn thẳng $\frac{AM}{MD} = \frac{1}{2}$ với tỉ số đồng dạng của tam giác $\frac{AM}{AD} = \frac{1}{3}$. Hãy nhớ cạnh của tam giác nhỏ phải tương ứng với cạnh của tam giác lớn.

• Không chứng minh thẳng hàng: Nếu không chứng minh $M, I, N$ thẳng hàng, phép cộng $MN = MI + IN$ sẽ không có căn cứ.

Mẹo giải nhanh

Với dạng bài tính độ dài đoạn thẳng song song với hai đáy và chia hai cạnh bên theo tỉ số $m/n$ (ở đây $AM/MD = 1/2 \Rightarrow m=1, n=2$), bạn có thể áp dụng công thức:

$$MN = \frac{n \cdot AB + m \cdot CD}{m + n}$$

Áp dụng vào bài: $MN = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{1 + 2} = \frac{10 + 6}{3} = \frac{16}{3}$ cm.

Công thức này cực kỳ hữu ích cho các bài thi trắc nghiệm để kiểm tra nhanh kết quả!