Bài 2.22 trang 72 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; -3; 1) và C(4; -1; 4)

a) Tìm tạo độ trọng tâm của tam giác ABC

b) Chứng minh 

c) Tính góc 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức của hình học tọa độ trong không gian:

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:$G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3})$.

• Điều kiện vuông góc: Hai vector $\vec{u}$  và $\vec{v}$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

• Công thức tính góc giữa hai vector: $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Chúng ta sẽ áp dụng các công thức này để giải quyết từng yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm tạo độ trọng tâm của tam giác ABC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó ta có:

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: 

b) Chứng minh 

A(1; 0; 1), B(0; -3; 1) và C(4; -1; 4)

Ta có: , 

Vậy 

c) Ta có

Vì tam giác ABC vuông tại A nên: