Bài 2.21 trang 72 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(-4; 3; 3), N(4; -4; 2) và P(3; 6; -1)

a) Tìm tọa độc các vectơ , , từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng

b) Tìm tạo độ của vectơ , từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho ba điểm M(-4; 3; 3), N(4; -4; 2) và P(3; 6; -1) trong không gian Oxyz.

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Ta sẽ tính tọa độ của hai vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{MP}$ . Sau đó, chứng tỏ chúng không cùng phương.

b) Tìm tọa độ điểm Q: Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ của vectơ $\vec{NQ}$, sau đó dùng tọa độ này để tìm tọa độ của điểm Q.

c) Tính chu vi hình bình hành MNPQ: Chu vi hình bình hành bằng hai lần tổng độ dài hai cạnh kề. Ta sẽ tính độ dài của các vectơ $\vec{MN}$ và $\vec{NP}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

 = (4 - (-4); (-4) - 3; 2 - 3) = (8; -7; -1)

 = (3 - (-4); 6 - 3; (-1) - 3) = (7; 3; -4)

Giải sử tồn tại số k sao cho  = k (*)

Khi đó ta có:

(vô nghiệm)

⇒ Không tồn tại k thỏa mãn (*) nên M, N, P không thẳng hàng.

b) Ta có:  = (-8; 7; 1)

Theo bài ra N(4; -4; 2) và P(3; 6; -1) nên có:

 = (3 - 4; 6 - (-4); (-1) - 2) = (-1; 10; -3)

 = ((-8) + (-1); 7 + 10; 1 + (-3) = (-9; 17; -2)

Để MNPQ là hình bình hành thì:

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ

 Ta có:  = (-8; 7; 1)

Theo bài ra N(4; -4; 2) và P(3; 6; -1) nên có:

 = (3 - 4; 6 - (-4); (-1) - 2) = (-1; 10; -3)

 Ta có:

Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là: