Giải bài 9 trang 21 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta mô hình hóa bài toán bằng một hệ trục tọa độ hoặc một hình học phẳng với các tam giác vuông:

• $O$ là chân cột, $H$ là điểm trên mặt đất gắn hai sợi cáp. $OH = 15 \text{ m}$.

• $A$ là điểm gắn cáp $R$ trên cột, $B$ là điểm gắn cáp $S$ trên cột. $OA = 14 \text{ m}$, $OB = 12 \text{ m}$.

• $\alpha$ là góc $\angle AHB$ giữa hai sợi cáp.

Để tính tanα, ta sử dụng công thức tan của hiệu hai góc:

1. Xác định các góc phụ: Đặt $\beta = \angle AHO$ và $\gamma = \angle BHO$.

2. Tính $\tan \beta$ và $\tan \gamma$: Sử dụng tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông $AHO$ và $BHO$.

3. Áp dụng công thức tan(β−γ):

   $$\tan \alpha = \tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1 + \tan \beta \tan \gamma}$$

4. Tính $\alpha$: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm $\alpha = \arctan(\tan \alpha)$ và làm tròn đến hàng đơn vị.

Lời giải chi tiết:

a) Xét ΔAOH vuông tại H, ta có: 

Đặt

Xét ΔBOH vuông tại H, ta có:

Mà: 

Vậy tanα = 10/131

b) Từ tanα = 10/131, để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay ấn lần lượt các nút:

[SHIFT] [tan] [1] [0] [÷] [1] [3] [1] [=]

Ta được kết quả làm tròn đến hàng đơn vị (theo đơn vị độ) là 4°.

Vậy α ≈ 4°.