Giải bài 10 trang 21 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18).

Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta mô hình hóa bài toán bằng cách kẻ các đường vuông góc để tạo ra các tam giác vuông.

1. Tính độ dài các cạnh: Kẻ $AM \perp CK$ và $BN \perp CK$. Ta cần tính độ dài các cạnh góc vuông ($AM, CM, BN, CN$) trong các tam giác vuông $ACM$ và $BCN$.

2. Xác định góc và $\tan$: Gọi $\alpha = \angle BCN$ và $\beta = \angle ACN$. Góc $\angle ACB$ được tính là hiệu của hai góc này. Tuy nhiên, dựa trên việc $B$ nằm cao hơn $A$ trên chung cư I, ta cần xét hiệu góc phù hợp để có góc $\angle ACB$ dương. Theo lời giải mẫu, ta tính $\tan \alpha$ và $\tan \beta$, sau đó tính $\tan(\beta - \alpha)$ (Giả sử góc lớn là $\beta = \angle ACM$ và góc nhỏ là $\alpha = \angle BCM$).

   • $\tan(\angle ACB) = \tan(\angle ACN - \angle BCN)$.

3. Áp dụng công thức tan của hiệu:

   $$\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$$

4. Tính $\angle ACB$: Sử dụng máy tính cầm tay để tìm $\angle ACB$ và làm tròn đến hàng phần mười.

Lời giải chi tiết:

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥ CK như hình sau:

Ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt 

Xét ΔBCN vuông tại N có: 

Xét ΔACM vuông tại M có:

Mà: 

Sử dụng máy tính cầm tay:

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: