Giải bài 4 trang 54 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Tìm m để phương trình 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 có nghiệm.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho là $2x^2 + (m + 1)x + m – 8 = 0$.

1. Điều kiện có nghiệm: Phương trình bậc hai có nghiệm khi biệt thức $\Delta$ của nó không âm ($\Delta \ge 0$).

2. Tính $\Delta$: Tính $\Delta$ theo tham số $m$.

3. Giải bất phương trình $\Delta \ge 0$: Bất phương trình này là một bất phương trình bậc hai với ẩn là $m$. Ta sẽ xét dấu của tam thức bậc hai theo $m$ để tìm ra các giá trị $m$ thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Phương trình: 2x² + (m + 1)x + m – 8 = 0 (*)

là phương trình bậc hai một ẩn với ẩn x với m là tham số.

Ta có, các hệ số tương ứng: a = 2, b = m + 1, c = m – 8 và có:

∆ = (m + 1)² – 4 . 2 . (m – 8)

= m² + 2m + 1 – 8m + 64

= m² – 6m + 65.

Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 

⇔ m² – 6m + 65 ≥ 0 (**)

Đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn là m.

Ta giải bất phương trình (**) này.

Tam thức bậc hai m² – 6m + 65 có:

∆_m = (–6)² – 4 . 1 . 65 = –224 < 0 và hệ số a_m = 1 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy:

Tam thức m² – 6m + 65 mang dấu dương với mọi m ∈ R. 

⇒ m² – 6m + 65 > 0 với mọi số thực m.

Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của m.