Các dạng Bài tập Giá trị tuyệt đối và Cách giải - Toán lớp 7

Để giúp các em làm chủ mảng kiến thức này, bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết trọng tâm và phân loại 4 dạng toán giá trị tuyệt đối thường gặp nhất kèm ví dụ giải chi tiết.

I. Kiến Thức Trọng Tâm Về Giá Trị Tuyệt Đối Cần Nhớ

Để giải chính xác các bài toán, trước tiên các em cần thuộc lòng định nghĩa và các tính chất căn bản sau:

1. Định nghĩa phá dấu giá trị tuyệt đối

• Với số thực $a$, ta có:

  $$|a| = \begin{cases} a & \text{khi } a \geq 0 \\ -a & \text{khi } a < 0 \end{cases}$$

• Tổng quát với biểu thức đại số chứa biến $x$:

  $$|x - a| = \begin{cases} x - a & \text{khi } x - a \geq 0 \text{ (hay } x \geq a) \\ a - x & \text{khi } x - a < 0 \text{ (hay } x < a) \end{cases}$$

2. Các tính chất quan trọng

• Tính không âm: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm, $|a| \geq 0$ với mọi $a \in \mathbb{R}$.

• Tính đối xứng: Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Ngược lại, hai số có trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau:

  $$|a| = |b| \Leftrightarrow \begin{cases} a = b \\ a = -b \end{cases}$$

• Khoảng kẹp: Mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng đối của trị tuyệt đối của nó và nhỏ hơn hoặc bằng trị tuyệt đối của nó: $-|a| \leq a \leq |a|$.

  • $-|a| = a \Leftrightarrow a \leq 0$

  • $a = |a| \Leftrightarrow a \geq 0$

• So sánh hai số âm: Trong hai số âm, số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: $a < b < 0 \Rightarrow |a| > |b|$.

• So sánh hai số dương: Trong hai số dương, số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: $0 < a < b \Rightarrow |a| < |b|$.

• Trị tuyệt đối của tích và thương:

  • $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$

  • $\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}$ (với $b \neq 0$)

• Lũy thừa chẵn: Bình phương của giá trị tuyệt đối bằng bình phương của số đó: $|a|^2 = a^2$.

• Bất đẳng thức tam giác: Tổng hai giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của một tổng: $|a| + |b| \geq |a + b|$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu ($a \cdot b \geq 0$).

II. Các Dạng Bài Tập Giá Trị Tuyệt Đối Và Phương Pháp Giải

Dạng 1: Rút gọn biểu thức và tính giá trị của biểu thức

• Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện của biến số đề bài cho để xác định xem biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương. Từ đó, áp dụng đúng định nghĩa để phá dấu trị tuyệt đối và thu gọn biểu thức số học.

Ví dụ 1: Tính giá trị $|x|$ biết:

a) $x = \frac{3}{11}$

b) $x = \frac{-7}{22}$

c) $x = -5,02$

Lời giải:

• a) $\left| \frac{3}{11} \right| = \frac{3}{11}$ (do $\frac{3}{11} > 0$)

• b) $\left| \frac{-7}{22} \right| = \frac{7}{22}$ (do $\frac{-7}{22} < 0$)

• c) $|-5,02| = 5,02$ (do $-5,02 < 0$)

Ví dụ 2: Tìm giá trị của $x$ biết:

a) $|x| = \frac{1}{5}$

b) $|x| = 0,37$

c) $|x| = 0$

d) $|x| = 1\frac{2}{3}$

Lời giải:

• a) $x = \frac{1}{5}$ hoặc $x = -\frac{1}{5}$

• b) $x = 0,37$ hoặc $x = -0,37$

• c) $x = 0$

• d) Đổi hỗn số: $|x| = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3}$ hoặc $x = -\frac{5}{3}$

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức đại số:

a) $A = 6x^3 - 3x^2 + 2|x| + 3$ với $x = -\frac{2}{3}$

b) $B = 2|x| - 3|y|$ với $x = \frac{1}{2}$ và $y = -3$

Lời giải:

• a) Thay giá trị $x = -\frac{2}{3}$ vào biểu thức $A$:

  $A = 6 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left|-\frac{2}{3}\right| + 3$

  $A = 6 \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) - 3 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3} + 3$

  $A = -\frac{16}{9} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 3$

  $A = -\frac{16}{9} + \frac{27}{9}$

  $A = \frac{11}{9}$

• b) Thay giá trị $x = \frac{1}{2}, y = -3$ vào biểu thức $B$:

  $B = 2 \cdot \left|\frac{1}{2}\right| - 3 \cdot |-3|$

  $B = 2 \cdot \frac{1}{2} - 3 \cdot 3$

  $B = 1 - 9$

  $B = -8$

Ví dụ 4: Thực hiện rút gọn biểu thức sau trong khoảng điều kiện $3,5 \leq x \leq 4,5$:

a) $A = |x - 3,5| + |4,5 - x|$

b) $B = |-x + 3,5| + |x - 4,5|`

Lời giải:

• a) Vì $x \geq 3,5 \Rightarrow x - 3,5 \geq 0$ nên $|x - 3,5| = x - 3,5$

  Vì $x \leq 4,5 \Rightarrow 4,5 - x \geq 0$ nên $|4,5 - x| = 4,5 - x$

  Biểu thức $A$ sau khi phá dấu trở thành:

  $A = (x - 3,5) + (4,5 - x)$

  $A = 1$

• b) Vì $x \geq 3,5 \Rightarrow -x \leq -3,5 \Rightarrow -x + 3,5 \leq 0$ nên $|-x + 3,5| = -(-x + 3,5) = x - 3,5$

  Vì $x \leq 4,5 \Rightarrow x - 4,5 \leq 0$ nên $|x - 4,5| = -(x - 4,5) = 4,5 - x$

  Biểu thức $B$ sau khi phá dấu trở thành:

  $B = (x - 3,5) + (4,5 - x)$

  $B = 1$

Dạng 2: Tìm giá trị của $x$ trong bài toán dạng $|A(x)| = k$

(Trong đó $A(x)$ là biểu thức chứa biến $x$, $k$ là một số thực cho trước).

Phương pháp giải:

• Nếu $k < 0$: Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn (Phương trình vô nghiệm).

• Nếu $k = 0 \Rightarrow A(x) = 0$.

• Nếu $k > 0$: Bài toán phân thành hai trường hợp giải độc lập: $A(x) = k$ hoặc $A(x) = -k$.

Ví dụ 1: Tìm biến số $x$, biết:

a) $\left| 2x - \frac{3}{2} \right| = -\frac{1}{2}$

b) $\frac{3}{2} - \left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{5}{4}$

Lời giải:

• a) Vì giá trị tuyệt đối của mọi số luôn không âm $\left| 2x - \frac{3}{2} \right| \geq 0$, mà vế phải $-\frac{1}{2} < 0$.

  Kết luận: Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn. Phương trình vô nghiệm.

• b) Biến đổi cô lập dấu giá trị tuyệt đối:

  $\left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{3}{2} - \frac{5}{4}$

  $\left| 2x - \frac{7}{4} \right| = \frac{1}{4}$

  Trường hợp 1: $2x - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$

  $2x = \frac{1}{4} + \frac{7}{4}$

  $2x = 2$

  $x = 1$

  Trường hợp 2: $2x - \frac{7}{4} = -\frac{1}{4}$

  $2x = -\frac{1}{4} + \frac{7}{4}$

  $2x = \frac{3}{2}$

  $x = \frac{3}{4}$

  Kết luận: Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn là $x = 1$ hoặc $x = \frac{3}{4}$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị $x$, biết:

a) $|x - 1,7| = 2,3$

b) $\left| x + \frac{3}{4} \right| - \frac{1}{3} = 0$

Lời giải:

• a) Chia thành hai trường hợp số thập phân:

  Trường hợp 1: $x - 1,7 = 2,3 \Rightarrow x = 2,3 + 1,7 \Rightarrow x = 4$

  Trường hợp 2: $x - 1,7 = -2,3 \Rightarrow x = -2,3 + 1,7 \Rightarrow x = -0,6$

  Vậy giá trị $x$ cần tìm là $x = 4$ hoặc $x = -0,6$.

• b) Chuyển vế hằng số: $\left| x + \frac{3}{4} \right| = \frac{1}{3}$

  Trường hợp 1: $x + \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \Rightarrow x = -\frac{5}{12}$

  Trường hợp 2: $x + \frac{3}{4} = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = -\frac{1}{3} - \frac{3}{4} \Rightarrow x = -\frac{13}{12}$

  Vậy nghiệm phương trình thu được là $x = -\frac{5}{12}$ hoặc $x = -\frac{13}{12}$.

Dạng 3: Tìm giá trị của $x$ trong bài toán dạng $|A(x)| = |B(x)|$

• Phương pháp giải: Sử dụng tính chất bắc cầu đẳng thức trị tuyệt đối, ta đưa bài toán về hai trường hợp bằng nhau hoặc đối nhau của cơ số: $A(x) = B(x)$ hoặc $A(x) = -B(x)$.

Ví dụ: Tìm giá trị ẩn $x$, biết:

a) $|5x - 4| = |x + 4|$

b) $|7x - 1| - |5x + 1| = 0$

Lời giải:

• a) Xét hai nhánh phương trình:

  Trường hợp 1: $5x - 4 = x + 4$

  $4x = 8$

  $x = 2$

  Trường hợp 2: $5x - 4 = -(x + 4)$

  $5x - 4 = -x - 4$

  $6x = 0$

  $x = 0$

  Vậy hai giá trị thỏa mãn bài toán là $x = 2$ và $x = 0$.

• b) Chuyển vế đưa về dạng chuẩn: $|7x - 1| = |5x + 1|$

  Trường hợp 1: $7x - 1 = 5x + 1$

  $2x = 2$

  $x = 1$

  Trường hợp 2: $7x - 1 = -(5x + 1)$

  $7x - 1 = -5x - 1$

  $12x = 0$

  $x = 0$

  Vậy hai giá trị thỏa mãn bài toán là $x = 1$ và $x = 0$.

Dạng 4: Tìm giá trị của $x$ trong bài toán dạng $|A(x)| = B(x)$

• Phương pháp giải: Học sinh có thể dùng 1 trong 2 cách sau:

  • Cách giải 1 (Đặt điều kiện vế không chứa trị tuyệt đối): Đặt điều kiện vế phải không âm $B(x) \geq 0$. Khi đó phương trình trở thành dạng $|A(x)| = |B(x)|$, giải ra nghiệm rồi đối chiếu nghiệm với điều kiện ban đầu.

  • Cách giải 2 (Chia khoảng xét dấu ẩn): Xét $A(x) \geq 0$ để phá dấu giữ nguyên và xét $A(x) < 0$ để phá dấu đổi dấu, giải phương trình trên từng khoảng độc lập.

Ví dụ: Tìm giá trị biến $x$, biết:

a) $|x - 3| = 5 - 2x$

b) $|5 - x| = 3x + 1$

Lời giải:

a) $|x - 3| = 5 - 2x \quad (*)$

Giải theo Cách 1: Đặt điều kiện vế phải không âm: $5 - 2x \geq 0 \Rightarrow 2x \leq 5 \Rightarrow x \leq \frac{5}{2}$.

Khi đó, phương trình $(*)$ phân làm hai nhánh:

Nhánh 1: $x - 3 = 5 - 2x$

$3x = 8$

$x = \frac{8}{3}$ (Loại vì không thỏa mãn điều kiện $x \leq \frac{5}{2}$).

Nhánh 2: $x - 3 = -(5 - 2x)$

$x - 3 = -5 + 2x$

$2x - x = -3 + 5$

$x = 2$ (Thỏa mãn điều kiện $x \leq \frac{5}{2}$).

Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 2$.

b) $|5 - x| = 3x + 1 \quad ()$

Giải theo Cách 2 (Chia khoảng): Trường hợp 1: Nếu biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không âm: $5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$.

Phương trình $()$ trở thành:

$5 - x = 3x + 1$

$4x = 4$

$x = 1$ (Thỏa mãn khoảng xét $x \leq 5$).

Trường hợp 2: Nếu biểu thức trong dấu trị tuyệt đối âm: $5 - x < 0 \Rightarrow x > 5$.

Phương trình $()$ trở thành:

$-(5 - x) = 3x + 1$

$-5 + x = 3x + 1$

$2x = -6$

$x = -3$ (Loại vì không thuộc khoảng xét $x > 5$).

Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 1$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập

Các em hãy vận dụng các quy tắc phá dấu trị tuyệt đối tương ứng của từng dạng toán ở trên để tự hoàn thiện hệ thống bài tập thực hành dưới đây:

Bài tập 1: Thực hiện rút gọn biểu thức đại số với điều kiện cho trước $x < -1,5$:

a) $A = |x + 1,5| - |x - 2,5|$

b) $B = |-x - 1,5| + |x - 3,5|$

Bài tập 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối để rút gọn biểu thức số học tổng quát:

a) $A = |x - 2,2| + |x - 1,8|$

b) $B = |-x - 1,4| + |x - 2,6|`

Bài tập 3: Tìm giá trị ẩn $x$, biết:

a) $\left| x + \frac{1}{4} \right| - \frac{3}{4} = 5$

b) $2 - \left| \frac{3}{2}x - \frac{1}{4} \right| = \frac{5}{4}$

Bài tập 4: Tìm giá trị ẩn $x$ từ hệ hai cụm trị tuyệt đối bằng nhau:

a) $\left| \frac{5}{4}x - \frac{7}{2} \right| - \left| \frac{5}{8}x + \frac{3}{5} \right| = 0$

b) $\left| \frac{7}{5}x + \frac{2}{3} \right| - \left| \frac{4}{3}x - \frac{1}{4} \right| = 0$

Bài tập 5: Tìm nghiệm của phương trình chứa dấu trị tuyệt đối kết hợp đơn thức vế:

a) $|4 + 2x| + 4x = 0$

b) $|3x - 7| - 1 = 2x$