Các dạng toán về số hữu tỉ và bài tập vận dụng - Toán lớp 7

Số hữu tỉ là một trong những bài đầu tiên trong chương trình toán lớp 7, và có khá nhiều dạng bài tập về số hữu tỉ, vì vậy trong bài viết này sẽ hệ thống lại số kiến thức quan trọng về số hữu tỉ, đồng thời tổng hợp các dạng bài tập toán áp dụng số hữu tỉ để các em hiểu rõ.

» xem thêm: Cách tìm GTNN, GTLN của biểu thức Toán lớp 7

1. Tập hợp các số hữu tỉ Q

- Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với  a, b ∈ Z, b ≠ 0.

– Ta có thể biểu diễn mọi số thực hữu tỉ trên trục số. Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

– Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y  

Nếu  x < y thì trên trục số x ở bên trái điểm y

Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương

Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

2. Cộng, trừ số hữu tỉ

- Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số

- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số:

 + Tính chất giao hoán: x+y = y+x

 + Tính chất kết hợp: (x+y)+z = x+(y+z)

 + Cộng với số 0: x+0 = x

 + Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối, đối của x là -x

 + Quy tắc "chuyển vế"

- Khi chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

3. Nhân, chia hai số hữu tỉ

– Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

– Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số:

 + Tính chất giao hoán: x.y = y.x

 + Tính chất kết hợp: (x.y).z = x.(y.z)

 + Nhân với số 1: x.1 = x

 + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

 + Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo: nghịch đảo của x là 1/x

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ luôn cho ta kết quả là một số hữu tỉ

4. Bài tập về số hữu tỉ

• Dạng 1: Thực hiện phép tính

* Phương pháp:

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.

- Rút gọn kết quả (nếu có thể)

+ Lưu ý: chỉ được áp dụng tính chất

 a.b + a.c = a.(b+c)

 a:c + b:c = (a+b):c

 - Không được áp dụng: a:b+a:c=a:(b+c)

Bài 1: Thực hiện phép tính

a)    b) 

c)      d) 

* Hướng dẫn:

a) (-2/3)+(-1/12) = (-8/12)+(-1/12) = (-9/12) = -3/4.

b) 11/30 - (1/5) = 11/30 - 6/30 = 5/30 = 1/6

c) (-5/2):(3/4) = (-5/2).(4/3) = -20/6 = -10/3

d) (21/5):(-12/5) = (21/5).(-5/12) = -21/12 = -7/4.

• Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

* Phương pháp:

- Nếu a/b là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều dương trục Ox a phần, ta được vị trí của số a/b.

+ Ví dụ: Biểu diễn số 5/4: Ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được phân số biểu diễn số 5/4.

- Nếu a/b là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phí chiều âm trục Ox a phần, ta được vị trí của số a/b.

• Dạng 3: So sánh số hữu tỉ

* Phương pháp

- Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số

- So sánh với số 0, so sánh với số 1, với số -1,...

- Dựa vào phần bù của 1

- So sánh với phân số trung gian (là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia).

* Bài 1: So sánh các số hữu tỉ sau

a)  

b)

c)    

d)

* Hướng dẫn

a) =y

b)

c) 

  ⇒ 1-x >1-y ⇒ y>x

d) 

 ⇒ x>y

• Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là dương, âm, là số 0 (không âm, không dương)

* Phương pháp:

- Dựa vào tính chất, a/b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a và b trái dấu, bằng 0 nếu a = 0.

* Bài 1: Cho số hữu tỉ x =  với giá trị nào của m thì,

a) x là số dương

b) x là số âm

c) x là số không dương không âm.

* Hướng dẫn:

a) x > 0 thì >0 ⇒ m - 2019 > 0 ⇒ m > 2019

b) x < 0 thì <0 ⇒ m - 2019 < 0 ⇒ m < 2019

c) x = 0 thì  =0 ⇒ m - 2019  0 ⇒ m = 2019

* Bài 2: Cho số hữu tỉ x =  với giá trị nào của m thì

a) x là số dương

b) x là số âm

* Hướng dẫn

a) m <-11/20

b) m>-11/20

• Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng

* Phương pháp:

- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số

 Ví dụ: Tìm a sao cho: 

* Hướng dẫn

- Ta có:  ⇒ a = {9, 10, . . . ,107}

* Bài 1: Tìm 5 phân số lớn hơn 1/5 nhỏ hơn 3/8

* Hướng dẫn:

- 5 phân số lớn hơn 3/15 nhỏ hơn 3/8 là: 3/14; 3/13; 3/12; 3/11; 3/10

* Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho

 1) 

 2) 

* Hướng dẫn

 1) a = {10,11,...,23}

 2) a = {15,16,...,31}

• Dạng 6: Tìm x để biểu thức nguyên

* Phương pháp

- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết

- Nếu tử số chứa x, dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số

- Với các bài toán tìm đồng thời x, y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.

* Ví dụ 1: Tìm x nguyên để A =  là số nguyên

* Hướng dẫn:

- ĐK: x-1≠0 ⇔ x≠1

- Để A nguyên thì 6 chia hết cho (x-1), nên (x-1) là ước của 6; Ư(6)={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}

⇒ x = {-5,-2,-1,0,2,3,4,7}

* Ví dụ 2: Tìm x nguyên để B =  là số nguyên

* Hướng dẫn:

+ Cách 1: Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số (khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới mẫu số).

- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu

 B =

- ĐK: x≠1, để B nguyên thì  nguyên, ⇒ (x-1) ∈ Ư(5) = {-5,-1,1,5}

+ Cách 2: Dùng dấu hiệu chia hết: Tìm điều kiện tử  tử, mẫu  mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu.

 - ĐK: x≠1 ta có: (x-1)  (x -1) nên 2(x-1)  (x-1) hay 2x-2  x-1  (*)

 Để B nguyên thì 2x+3  x-1 (**), từ (*) và (**) ta có: 2x+3-(2x-2)  x-1 ⇔ 5  x-1

 ⇒ (x-1) ∈ Ư(5) = {-5,-1,1,5} và ta có kết quả tương tự trên.

Bài 1: Tìm x nguyên để các biểu thức sau nguyên

a)    b)   c) 

* Hướng dẫn:

a) x={-1,0}

  ⇒  ⇒

⇒ (6x+4)-(6x+3)  (2x+1) ⇒ 1  (2x+1) ⇒ (2x+1)∈Ư(1)={-1,1}

b) Tương tự: 7  (x+4) ⇒ (x+4)∈Ư(7)={-7,-1,1,7} ⇒ x={-11,-5,-3,3}

c) Tương tự: 23  (x+4) ⇒ (x+4)∈Ư(23)={-23,-1,1,23} ⇒ x={-27,-5-3,19}

* Với các biểu thức ax + bxy + cy = d ta làm như sau:

- Nhóm các hạng tử chưa xy với x (hoặc y)

- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích

+ Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy-3x+3y=-1

* Hướng dẫn:

 y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y

 y(x+3)-3(x+3)+10=0 (phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )

 (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng:

* Với các biểu thức có dạng  ta quy đồng đưa về dạng Ax + By + Cxy + D = 0.

+ Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho 

* Hướng dẫn:

- Quy đồng khử mẫu được: 3x+3y-xy=0 (bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)

⇔ x(3-y)-3(3-y)+9=0 ⇔ (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng

Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x =  là một số nguyên.

Bài 2: Tìm số nguyên b để số hữu tỉ y =  là một số nguyên.

Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thoả mãn

a) xy+2x+y=11

b) 9xy-6x+3y=6

c) 2xy+2x-y=8

d) xy-2x+4y=9

• Dạng 7: Các bài toán tìm x

* Phương pháp

- Quy đồng khử mẫu số

- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế (chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x

- Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không).

+ Chú ý: các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các bài toán tìm x có quy luật.

Bài 1: Tìm x biết

a) 

b) 

* Hướng dẫn:

 a) x = -5/9

 b) x = 3/8

Bài 2: Tìm x biết

 a)

 b) 

* Hướng dẫn:

 a) x = -13/12

 b) x = 22/15

Bài 3: Tìm x biết

a) 

b)

* Hướng dẫn:

a) x = -3

b) 

 ⇔ 

 ⇔ 

 ⇔ x = -2010

• Dạng 8: Bài toán tìm x trong các bất phương trình

* Phương pháp

- Nếu a.b > 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b ≥ 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b < 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b ≤ 0 thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Chú ý: dạng a.b<0 có cách giải nhanh bằng phương pháp đánh giá.

+ Ví dụ: Tính x biết,

a) (2x+4)(x-3)≥0

b) [(x+5)/(x-1)]<0

c) (x-2)(x+5)<0

* Hướng dẫn

a) (2x+4)(x-3)≥0 ⇔  hoặc 

⇔ x>3 hoặc x<-2

b) -5<x<1

c) (x-2)(x+5)<0 vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi 

⇔ -5<x<2

Bài 1: Tìm x biết

a) (x-1)(x+4)>0

b) (3x-1)(2x+4)≥0

c) (3-x)(x+1)<0

• Dạng 9: Các bài toán tính tổng theo quy tắc

* Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau 1 số không đổi

+ Phương pháp:

- Tính số các số hạng: 

 Trong đó: n_c: số cuối; n_d : số đầu; k: khoảng cách

- Tính Tổng: 

 Trong đó: n_c: số cuối; n_d : số đầu; s_h: số số hạng

+ Ví dụ: S=1+3+5+...+99 (khoảng cách bằng 2)

 - Số số hạng: = 

 ⇒ Ta có: S = 

* Chú ý:

 A = 1.3 + 2.4 + 3.5 +...+ (n-1)(n+1) = n/6 [(n-1) .(2n+1)]

 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (n – 1)n = n.(n – 1 ).(n + 1)

 A = 1 + 2 + 3 +…+ (n-1) + n = n(n+1):2

 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +...+ (n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)

 A = 12 + 22 + 32 +...+ 992 + 1002 = n(n+1)(2n+1):6

* Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n

+ Phương pháp: Phân tích tử số thành hiệu của 2 số (số cuối - số đầu) ở dưới mẫu.

+ Ví dụ: Tính

Bài 1: Tính các tổng sau

1) A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101

2) A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102

* Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bằng (2+2), (3+2), (4+2),...,(100 +2)

3) A = 4 + 12 + 24 + 40 +...+ 19404 + 19800

* Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2

4) A = 1 + 3 + 6 + 10 +...+ 4851 + 4950

* Hướng dẫn: Nhân 2 vế với 2

5) A = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998

* Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2