Các dạng toán về số hữu tỉ và bài tập vận dụng - Toán lớp 7

I. Kiến thức cơ bản về số hữu tỉ

1. Tập hợp số hữu tỉ ($Q$)

• Số hữu tỉ là số có thể viết được dưới dạng phân số ​, với $a,b\in Z$ và $b\ne 0$.

• Mọi số hữu tỉ đều có thể được biểu diễn trên trục số.

• Với hai số hữu tỉ bất kỳ $x,y$, luôn có $x=y$ hoặc $x<y$ hoặc $x>y$.

• Số hữu tỉ dương là số lớn hơn 0.

• Số hữu tỉ âm là số nhỏ hơn 0.

• Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.

2. Các phép toán với số hữu tỉ

• Cộng, trừ: Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số có cùng mẫu số dương, sau đó áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

  • Các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, số đối.

  • Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

• Nhân, chia: Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

  • Các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, tính chất phân phối.

  • Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo.

» Xem thêm: Cách tìm GTNN, GTLN của biểu thức Toán lớp 7

II. Các dạng toán số hữu tỉ

• Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.

- Rút gọn kết quả (nếu có thể)

+ Lưu ý: chỉ được áp dụng tính chất

 a.b + a.c = a.(b+c)

 a:c + b:c = (a+b):c

 - Không được áp dụng: a:b+a:c=a:(b+c)

Bài 1: Thực hiện phép tính

a)    b) 

c)      d) 

* Hướng dẫn:

a) (-2/3)+(-1/12) = (-8/12)+(-1/12) = (-9/12) = -3/4.

b) 11/30 - (1/5) = 11/30 - 6/30 = 5/30 = 1/6

c) (-5/2):(3/4) = (-5/2).(4/3) = -20/6 = -10/3

d) (21/5):(-12/5) = (21/5).(-5/12) = -21/12 = -7/4.

• Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Phương pháp:

- Nếu a/b là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều dương trục Ox a phần, ta được vị trí của số a/b.

+ Ví dụ: Biểu diễn số 5/4: Ta chia các khoảng có độ dài 1 đơn vị thành 4 phần bằng nhau, lấy 5 phần ta được phân số biểu diễn số 5/4.

- Nếu a/b là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phí chiều âm trục Ox a phần, ta được vị trí của số a/b.

• Dạng 3: So sánh số hữu tỉ

Phương pháp

- Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số

- So sánh với số 0, so sánh với số 1, với số -1,...

- Dựa vào phần bù của 1

- So sánh với phân số trung gian (là phân số có tử số của phân số này mẫu số của phân số kia).

* Bài 1: So sánh các số hữu tỉ sau

a)  

b)

c)    

d)

* Hướng dẫn

a) =y

b)

c) 

  ⇒ 1-x >1-y ⇒ y>x

d) 

 ⇒ x>y

• Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là dương, âm, là số 0 (không âm, không dương)

Phương pháp:

- Dựa vào tính chất, a/b là số hữu tỉ dương nếu a và b cùng dấu, là số hữu tỉ âm nếu a và b trái dấu, bằng 0 nếu a = 0.

* Bài 1: Cho số hữu tỉ x =  với giá trị nào của m thì,

a) x là số dương

b) x là số âm

c) x là số không dương không âm.

* Hướng dẫn:

a) x > 0 thì >0 ⇒ m - 2019 > 0 ⇒ m > 2019

b) x < 0 thì <0 ⇒ m - 2019 < 0 ⇒ m < 2019

c) x = 0 thì  =0 ⇒ m - 2019  0 ⇒ m = 2019

* Bài 2: Cho số hữu tỉ x =  với giá trị nào của m thì

a) x là số dương

b) x là số âm

* Hướng dẫn

a) m <-11/20

b) m>-11/20

• Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng

Phương pháp:

- Đưa về các số hữu tỉ có cùng tử số hoặc mẫu số

 Ví dụ: Tìm a sao cho: 

* Hướng dẫn

- Ta có:  ⇒ a = {9, 10, . . . ,107}

* Bài 1: Tìm 5 phân số lớn hơn 1/5 nhỏ hơn 3/8

* Hướng dẫn:

- 5 phân số lớn hơn 3/15 nhỏ hơn 3/8 là: 3/14; 3/13; 3/12; 3/11; 3/10

* Bài 2: Tìm số nguyên a sao cho

 1) 

 2) 

* Hướng dẫn

 1) a = {10,11,...,23}

 2) a = {15,16,...,31}

• Dạng 6: Tìm x để biểu thức nguyên

Phương pháp

- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết

- Nếu tử số chứa x, dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số

- Với các bài toán tìm đồng thời x, y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.

* Ví dụ 1: Tìm x nguyên để A =  là số nguyên

* Hướng dẫn:

- ĐK: x-1≠0 ⇔ x≠1

- Để A nguyên thì 6 chia hết cho (x-1), nên (x-1) là ước của 6; Ư(6)={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}

⇒ x = {-5,-2,-1,0,2,3,4,7}

* Ví dụ 2: Tìm x nguyên để B =  là số nguyên

Hướng dẫn:

+ Cách 1: Dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số (khi hệ số của x trên tử số là bội hệ số của x dưới mẫu số).

- Tách tử số theo biểu thức dưới mẫu số, thêm bớt để được tử số ban đầu

 B =

- ĐK: x≠1, để B nguyên thì  nguyên, ⇒ (x-1) ∈ Ư(5) = {-5,-1,1,5}

+ Cách 2: Dùng dấu hiệu chia hết: Tìm điều kiện tử  tử, mẫu  mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu.

 - ĐK: x≠1 ta có: (x-1)  (x -1) nên 2(x-1)  (x-1) hay 2x-2  x-1  (*)

 Để B nguyên thì 2x+3  x-1 (**), từ (*) và (**) ta có: 2x+3-(2x-2)  x-1 ⇔ 5  x-1

 ⇒ (x-1) ∈ Ư(5) = {-5,-1,1,5} và ta có kết quả tương tự trên.

Bài 1: Tìm x nguyên để các biểu thức sau nguyên

a)    b)   c) 

* Hướng dẫn:

a) x={-1,0}

  ⇒  ⇒

⇒ (6x+4)-(6x+3)  (2x+1) ⇒ 1  (2x+1) ⇒ (2x+1)∈Ư(1)={-1,1}

b) Tương tự: 7  (x+4) ⇒ (x+4)∈Ư(7)={-7,-1,1,7} ⇒ x={-11,-5,-3,3}

c) Tương tự: 23  (x+4) ⇒ (x+4)∈Ư(23)={-23,-1,1,23} ⇒ x={-27,-5-3,19}

* Với các biểu thức ax + bxy + cy = d ta làm như sau:

- Nhóm các hạng tử chưa xy với x (hoặc y)

- Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích

+ Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy-3x+3y=-1

* Hướng dẫn:

 y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y

 y(x+3)-3(x+3)+10=0 (phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 )

 (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng:

* Với các biểu thức có dạng  ta quy đồng đưa về dạng Ax + By + Cxy + D = 0.

+ Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho 

* Hướng dẫn:

- Quy đồng khử mẫu được: 3x+3y-xy=0 (bài toán quay về dạng ax+by+cxy+d=0)

⇔ x(3-y)-3(3-y)+9=0 ⇔ (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng

Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x =  là một số nguyên.

Bài 2: Tìm số nguyên b để số hữu tỉ y =  là một số nguyên.

Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thoả mãn

a) xy+2x+y=11

b) 9xy-6x+3y=6

c) 2xy+2x-y=8

d) xy-2x+4y=9

• Dạng 7: Các bài toán tìm x

Phương pháp

- Quy đồng khử mẫu số

- Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về một vế (chuyển vế đổi dấu) rồi tìm x

- Chú ý: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số bằng không).

+ Chú ý: các bài toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng các bình phương bằng 0, các bài toán tìm x có quy luật.

Bài 1: Tìm x biết

a) 

b) 

* Hướng dẫn:

 a) x = -5/9

 b) x = 3/8

Bài 2: Tìm x biết

 a)

 b) 

* Hướng dẫn:

 a) x = -13/12

 b) x = 22/15

Bài 3: Tìm x biết

a) 

b)

* Hướng dẫn:

a) x = -3

b) 

 ⇔ 

 ⇔ 

 ⇔ x = -2010

• Dạng 8: Bài toán tìm x trong các bất phương trình

Phương pháp

- Nếu a.b > 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b ≥ 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b < 0 thì  hoặc 

- Nếu a.b ≤ 0 thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Nếu  thì  hoặc 

- Chú ý: dạng a.b<0 có cách giải nhanh bằng phương pháp đánh giá.

+ Ví dụ: Tính x biết,

a) (2x+4)(x-3)≥0

b) [(x+5)/(x-1)]<0

c) (x-2)(x+5)<0

* Hướng dẫn

a) (2x+4)(x-3)≥0 ⇔  hoặc 

⇔ x>3 hoặc x<-2

b) -5<x<1

c) (x-2)(x+5)<0 vì x+5>x-2 nên (x-2)(x+5)<0 khi 

⇔ -5<x<2

Bài 1: Tìm x biết

a) (x-1)(x+4)>0

b) (3x-1)(2x+4)≥0

c) (3-x)(x+1)<0

• Dạng 9: Các bài toán tính tổng theo quy tắc

Tính tổng dãy số có các số hạng cách nhau 1 số không đổi

Phương pháp:

- Tính số các số hạng: 

 Trong đó: n_c: số cuối; n_d : số đầu; k: khoảng cách

- Tính Tổng: 

 Trong đó: n_c: số cuối; n_d : số đầu; s_h: số số hạng

+ Ví dụ: S=1+3+5+...+99 (khoảng cách bằng 2)

 - Số số hạng: = 

 ⇒ Ta có: S = 

* Chú ý:

 A = 1.3 + 2.4 + 3.5 +...+ (n-1)(n+1) = n/6 [(n-1) .(2n+1)]

 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (n – 1)n = n.(n – 1 ).(n + 1)

 A = 1 + 2 + 3 +…+ (n-1) + n = n(n+1):2

 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +...+ (n-2)(n-1)n = ¼ .(n-2)(n-1)n(n+1)

 A = 12 + 22 + 32 +...+ 992 + 1002 = n(n+1)(2n+1):6

* Tính tổng dãy số A có các số hạng mà số đứng sau gấp số đứng trước một số không đổi n

+ Phương pháp: Phân tích tử số thành hiệu của 2 số (số cuối - số đầu) ở dưới mẫu.

+ Ví dụ: Tính

Bài 1: Tính các tổng sau

1) A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101

2) A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102

* Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bằng (2+2), (3+2), (4+2),...,(100 +2)

3) A = 4 + 12 + 24 + 40 +...+ 19404 + 19800

* Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2

4) A = 1 + 3 + 6 + 10 +...+ 4851 + 4950

* Hướng dẫn: Nhân 2 vế với 2

5) A = 6 + 16 + 30 + 48 +...+ 19600 + 19998

* Hướng dẫn: Chia 2 vế cho 2

Bài 2:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:

a) (x+2) + (x+12) + (x+42) + (x+47) = 655

b) x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + …+ (x+2009) = 2009.2010

Bài 3: Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 2009.2010

Bài 4: Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 +...+ 3100; Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n

Bài 5: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +...+3100

a) M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?

b) Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n