Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức lớp 7

11:33:0214/02/2025

Cách Tìm Giá trị Lớn nhất của biểu thức lớp 7 thường làm nhiều em cảm thấy khó khăn trong việc tìm lời giải chính xác.

Bài viết này giúp các em cách tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức ở lớp 7 môn toán một cách chi tiết dễ hiểu để vận dụng.

1. Kiến thức cần nhớ để giải toán tìm giá trị lớn nhất (gtln), gtnn

Cho biểu thức A:

Nếu ta chứng minh được biểu thức A ≥ k (với k là hằng số) và dấu "=" xảy ra với giá nào đó của biến thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.

Nếu ta chứng minh được biểu thức A ≤ k (với k là hằng số) và dấu "=" xảy ra với giá nào đó của biến thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.

A² ≥ 0 với mọi A, dấu bằng xảy ra khi A = 0

A²ⁿ ≥ 0 với mọi A và n ∈ N, dấu bằng xảy ra khi A = 0

|A| ≥ 0 với mọi A, dấu bằng xảy ra khi A = 0

2. Tìm giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức là đa thức lớp 7

Phương pháp: Ta vận dụng tính chất:

– A² ≤ 0 với mọi A, dấu bằng xảy ra khi A = 0

– A²ⁿ ≤ 0 với mọi A và n ∈ N, dấu bằng xảy ra khi A = 0

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 5(x - 2)² - 3

Lời giải:

Ta có (x - 2)² ≥ 0, với mọi x

⇒ 5(x - 2)² ≥ 0

Nên A = 5(x - 2)² – 3 ≥ –3

Dấu "=" xảy ra khi x – 2 = 0 ⇒ x = 2.

Vậy MinA = –3 khi x = 2.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2025 – 2(5 – 2y)⁴

Lời giải:

Ta có (5 - 2y)² ≥ 0, với mọi y

⇒ 2(5 - 2y)⁴ ≥ 0, với mọi y

⇒ –2(5 - 2y)⁴ ≤ 0, với mọi y

Suy ra: B = 2025 – 2(5 – 2y)⁴ ≤ 2025

Dấu bằng xảy ra khi 5 – 2y = 0 ⇒ y = 5/2.

Vậy MaxB = 2025 khi y = 5/2.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x² + 2x + 3

Lời giải:

Ta có F = (x² + x) + (x + 1) + 2 = x(x + 1) + (x + 1) + 2

= (x + 1)(x + 1) + 2 = (x + 1)² + 2

Vì (x + 1)² ≥ 0 với mọi x, nên F = (x + 1)² + 2 ≥ 2

Dấu "=" xảy ra khi x + 1 = 0 ⇒ x = –1

Vậy minF = 2 khi x = –1.

3. Tìm giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức dạng phân số lớp 7

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\small\,A=\frac{6}{-2-(x+1)^2}$

Lời giải:

Ta có: –2 – (x + 1)² ≤ –2 nên: $\small\,\frac{1}{-2-(x+1)^2}\geq\frac{1}{-2}$

Suy ra: $\small\,A=\frac{6}{-2-(x+1)^2}\geq\frac{6}{-2}=-3$

Dấu "=" xảy ra khi x = –1

Vậy MinA = –3 khi x = –1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\small\,B=\frac{3}{2(3x+1)^2+3}$

Lời giải:

Ta có: 2(3x + 1)² + 3 ≥ 3

Nên: $\small\,\frac{1}{2(3x+1)^2+3}\leq\frac{1}{3}$

Suy ra: $\small\,B=\frac{3}{2(3x+1)^2+3}\leq\frac{1}{3}.3=1$

Dấu "=" xảy ra khi 3x + 1 = 0 ⇒ x = –1/3

Vậy MaxB = 1 khi x = –1/3

4. Tìm giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức có dấu trị tuyệt đối lớp 7

Phương pháp:

• Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0.

- Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a

- Hoặc, ta biến đổi biểu thức A về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

• Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp: Lập bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối của từng biểu thức, hoặc sử dụng tính chất, với mọi x, y ∈ Q, ta có:

|x + y| ≤ |x| + |y| dấu bằng xảy ra khi x.y ≥ 0

|x – y| ≥ |x| - |y|

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |2x + 2022| + 5

Lời giải:

- Ta có: A = |2x + 2022| + 5

Vì |2x + 2022| ≥ 0, với mọi x

Suy ra |2x + 2022| + 5 ≥ 0 + 5, ∀ x

Do đó A ≥ 5, ∀ x

Vậy GTNN của A là 5, khi |2x + 2022| = 0,

nghĩa là: 2x + 2022 = 0 ⇒ x = -1011.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2022 - |5x + 15|

Lời giải:

- Ta có: B = 2022 - |5x + 15|

Vì |5x + 15| ≥ 0, ∀x

⇒ -|5x + 15| ≤ 0, ∀x

⇒ -|5x + 15| + 2022 ≤ 2022, ∀x

⇒ 2022 - |5x + 15| ≤ 2022, ∀x

Suy ra B ≤ 2022, ∀x

Vậy GTLN của B là 2022, khi |5x + 15| = 0,

Tức là 5x + 15 = 0 ⇒ x = -3.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 10| + |x – 2022|

Lời giải:

- Ta có: C = |x – 10| + |x – 2022|

= |x – 10| + |-(x – 2022)| (vì |a| = |-a|)

= |x – 10| + |2022 – x|

Vì |x – 10| + |2022 – x| ≥ |x – 10 + 2022 – x| (theo tính chất ở phần lý thuyết)

Mà |x – 10 + 2022 – x| = |2022 – 10| = |2012| = 2012

Suy ra C ≥ 2012

Vậy GTNN của C là 2012.

5. Tìm giá trị lớn nhất (gtln) của biểu thức có dấu căn bậc 2 lớp 7

Chú ý: Khi giải những bài toán có chứa dấu căn bậc hai cần chú ý đến điều kiện tồn tại của căn bậc hai.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\small\,A=2\sqrt{x}+3$

Lời giải:

Ta có: $\small\,\sqrt{x}\geq0$ với mọi x ≥ 0

Nên $\small\,2\sqrt{x}\geq0$ với mọi x ≥ 0

Suy ra: $\small\,A=2\sqrt{x}+3\geq3$

Dấu "=" xảy ra x = 0

Vậy MinA = 3 khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\small\,B=15-3\sqrt{x^2-1}$

Lời giải:

Ta có $\small\,\sqrt{x^2-1}\geq0$ với mọi x² – 1 ≥ 0 (hay x ≤ –1 hoặc x ≥ 1)

Nên $\small\,-3\sqrt{x^2-1}\leq0$ với x ≤ –1 hoặc x ≥ 1

Suy ra: $\small\,B=15-3\sqrt{x^2-1}\leq15$ với x ≤ –1 hoặc x ≥ 1

Dấu "=" xảy ra khi x² – 1 = 0 hay x = ±1.

Vậy MaxB = 15 khi x = ±1.

6. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất.

* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) A = 5(2x + 1)² – 39

b) B = 7(4x – 3)² + (3 – y)²

c) L = x⁴ + 3x² + 1

d) M = 2|3x – 2| – 1

e) P = x² + 2|y - 3| – 1

* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) I = 13 – (x - 2)²

b) J = –3(4 – 2x)⁴ – (y – 5)⁶ + 2025

c) K = –5x² – 15x + 20

d) Q = 9 – |x + 2| – (2x + y)²

e) R = |x| + |x + 1|

i) G = |x – 2023| + |x – 2024| + |x – 2025| + 2022

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức lớp 7 ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.