Bài 4.25 SGK Toán 7 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài 4.25 - SGK Toán 7 Tập 1 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.25 SGK Toán 7 Tập 1:

a) Ta có hình minh họa sau:

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do $AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AMB=\Delta AMC$ (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b) Ta có hình minh họa sau:

Do AM là tia phân giác của  nên

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

(hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AMC=\Delta IMB$(c – g – c).

Khi đó  (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà  nên  hay

Tam giác BIA có  nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.