Cách tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối và Bài tập có đáp án Toán 7 (cực hay)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống hóa lại 3 dạng bài tập thường gặp nhất, cung cấp phương pháp giải chi tiết theo cột dọc mạch lạc và đi kèm hệ thống ví dụ minh họa trực quan để các em làm chủ dạng toán này một cách dễ dàng.

I. Các Dạng Bài Tập Tìm x Trong Dấu Giá Trị Tuyệt Đối

Dạng 1: $|A(x)| = k$

Đây là dạng bài cơ bản nhất, trong đó $A(x)$ là một biểu thức đại số chứa ẩn $x$ và $k$ là một số thực cho trước.

Phương pháp giải:

Ta tiến hành quan sát và đánh giá giá trị của hằng số $k$:

• Trường hợp 1: Nếu $k < 0$

  Ta kết luận phương trình vô nghiệm. Vì theo định nghĩa, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn luôn không âm ($|A(x)| \geq 0$) với mọi $x$.

• Trường hợp 2: Nếu $k = 0$

  Phương trình đơn giản trở thành: $A(x) = 0$.

• Trường hợp 3: Nếu $k > 0$

  Phương trình được tách ra làm hai trường hợp độc lập để giải:

  $$A(x) = k \quad \text{hoặc} \quad A(x) = -k$$

Bài tập ví dụ:

Tìm giá trị $x$, biết:

a) $|x - 1| = -2$

b) $\left| 2x - \frac{1}{2} \right| = \frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết:

a) $|x - 1| = -2$

Nhận thấy vế phải là hằng số $-2 < 0$. Do giá trị tuyệt đối không thể nhận giá trị âm nên phương trình này hoàn toàn không có lý do để tồn tại nghiệm.

Kết luận: Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) $\left| 2x - \frac{1}{2} \right| = \frac{3}{2}$

Vì vế phải là phân số dương $\frac{3}{2} > 0$, ta chủ động chia bài toán thành hai trường hợp giải:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết luận: Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình là $x = 1$ và $x = -\frac{1}{2}$.

Dạng 2: $|A(x)| = |B(x)|$

Đây là dạng phương trình đối xứng đại số mà cả hai vế đều nằm bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp giải:

Theo tính chất đối xứng của trị tuyệt đối, hai vế bằng nhau khi phần cơ số của chúng bằng nhau hoặc đối nhau. Do đó, phương trình được giải thông qua hai trường hợp:

Bài tập ví dụ:

Tìm giá trị $x$, biết:

a) $|5x - 4| = |x + 4|$

b) $|7x - 1| - |5x + 1| = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $|5x - 4| = |x + 4|$

Ta phân thành hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết luận: Vậy giá trị $x$ cần tìm là $x = 2$ hoặc $x = 0$.

b) $|7x - 1| - |5x + 1| = 0$

Thực hiện chuyển vế đổi dấu đưa phương trình về dạng chuẩn:

Ta phân thành hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết luận: Vậy giá trị $x$ cần tìm là $x = 1$ hoặc $x = 0$.

Dạng 3: $|A(x)| = B(x)$

Dạng toán này yêu cầu chúng ta phải cực kỳ cẩn thận và tư duy chặt chẽ hơn, vì vế phải chứa biến $B(x)$ chưa rõ âm hay dương.

Phương pháp giải (Kỹ thuật đặt điều kiện vế):

• Bước 1: Thiết lập điều kiện xác định cho vế không chứa trị tuyệt đối bắt buộc phải không âm: $B(x) \geq 0$.

• Bước 2: Khi điều kiện trên được thiết lập, ta phá dấu tương tự dạng 2 thành hai nhánh phương trình: $A(x) = B(x)$ hoặc $A(x) = -B(x)$.

• Bước 3: Tiến hành giải tìm $x$ ở từng nhánh độc lập.

• Bước 4: Đối chiếu các giá trị $x$ vừa tìm được với điều kiện $B(x) \geq 0$ ở Bước 1 nhằm loại bỏ nghiệm ngoại lai và đưa ra kết luận.

Bài tập ví dụ:

Tìm giá trị $x$, biết:

a) $|x - 3| = 5 - 2x$

b) $|5 - x| = 3x + 1$

Lời giải chi tiết:

a) $|x - 3| = 5 - 2x \quad (1)$

• Thiết lập khoảng điều kiện vế phải:

  $$5 - 2x \geq 0$$
  $$2x \leq 5$$
  $$x \leq \frac{5}{2}$$

• Tiến hành giải phương trình (1) trên khoảng điều kiện:

Trường hợp 1:

Đối chiếu điều kiện: Ta thấy phân số $\frac{8}{3} \approx 2,67$, lớn hơn khoảng chặn $\frac{5}{2} = 2,5$. Do đó giá trị $x = \frac{8}{3}$ bị Loại.

Trường hợp 2:

Đối chiếu điều kiện: Giá trị $x = 2 \leq \frac{5}{2}$ hoàn toàn Thỏa mãn.

Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình thu được là $x = 2$.

b) $|5 - x| = 3x + 1 \quad (2)$

• Thiết lập khoảng điều kiện vế phải:

  $$3x + 1 \geq 0$$
  $$3x \geq -1$$
  $$x \geq -\frac{1}{3}$$

• Tiến hành giải phương trình (2) trên khoảng điều kiện:

Trường hợp 1:

Đối chiếu điều kiện: Giá trị $x = 1 \geq -\frac{1}{3}$ hoàn toàn Thỏa mãn.

Trường hợp 2:

Đối chiếu điều kiện: Giá trị $x = -3$ nhỏ hơn khoảng chặn $-\frac{1}{3}$. Do đó giá trị $x = -3$ bị Loại.

Kết luận: Nghiệm duy nhất của phương trình thu được là $x = 1$.

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Tự Luyện

Các em hãy lấy giấy nháp ra và tự rèn luyện phản xạ tính toán thông qua danh sách bài tập chuyên đề dưới đây nhé:

• Bài tập 1: Tìm giá trị số thực $x$, biết:

  a) $\left| \frac{2}{3}x - 1 \right| = 3$

  b) $\left| \frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \right| = 0$

• Bài tập 2: Tìm giá trị số thực $x$, biết:

  a) $|4 + 2x| = |x - 2|$

  b) $|3x - 7| = |1 - 2x|$

• Bài tập 3: Tìm giá trị số thực $x$, biết:

  a) $\left| x + \frac{1}{4} \right| - \frac{3}{4} = 5$

  b) $2 - \left| \frac{3}{2}x - \frac{1}{4} \right| = \frac{5}{4}$

• Bài tập 4: Tìm giá trị số thực $x$, biết:

  a) $\left| \frac{5}{4}x - \frac{7}{2} \right| - \left| \frac{5}{8}x + \frac{3}{5} \right| = 0$

  b) $\left| \frac{7}{5}x + \frac{2}{3} \right| - \left| \frac{4}{3}x - \frac{1}{4} \right| = 0$

• Bài tập 5: Tìm giá trị số thực $x$, biết:

  a) $|4 + 2x| + 4x = 0$

  b) $|3x - 7| - 1 = 2x$

III. Đáp Án Tham Khảo Và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Để giúp các em học sinh đối chiếu kết quả sau khi tự rèn luyện, dưới đây là đáp án số và hướng dẫn phương pháp biến đổi cho từng bài tập vận dụng:

Bài tập 1

• Đáp số: * a) $x = 6$ hoặc $x = -3$

  • b) $x = \frac{2}{3}$

• Hướng dẫn giải: * Với câu a, biểu thức ở dạng chuẩn $|A(x)| = k$ với $k = 3 > 0$. Các em chủ động chia làm hai nhánh phương trình độc lập để giải: $\frac{2}{3}x - 1 = 3$ và $\frac{2}{3}x - 1 = -3$.

  • Với câu b, vì vế phải bằng $0$ nên phương trình tương đương với việc cho trực tiếp biểu thức lõi bằng $0$: $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = 0$, từ đó cô lập tìm được $x$.

Bài tập 2

• Đáp số:

  • a) $x = -6$ hoặc $x = -\frac{2}{3}$

  • b) $x = \frac{8}{5}$ hoặc $x = 6$

• Hướng dẫn giải: * Cả hai câu đều thuộc dạng phương trình hai dấu giá trị tuyệt đối bằng nhau: $|A(x)| = |B(x)|$.

  • Phương pháp biến đổi là phá ngoặc chia thành hai trường hợp: $A(x) = B(x)$ hoặc $A(x) = -B(x)$. Sau đó, các em thực hiện quy tắc chuyển vế đổi dấu, gom các số hạng chứa biến $x$ về một vế để thu gọn và tìm ra kết quả cuối cùng.

Bài tập 3

• Đáp số:

  • a) $x = \frac{11}{2}$ hoặc $x = -6$

  • b) $x = \frac{2}{3}$ hoặc $x = -\frac{1}{3}$

• Hướng dẫn giải: * Với câu a, các em thực hiện chuyển vế hằng số $-\frac{3}{4}$ sang vế phải để đưa phương trình về dạng căn bản: $\left|x + \frac{1}{4}\right| = 5 + \frac{3}{4} = \frac{23}{4}$. Do vế phải dương nên tiếp tục chia hai trường hợp để giải.

  • Với câu b, tiến hành cô lập cụm chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chuyển vế, ta thu được: $\left|\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\right| = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$. Từ đây, bài toán quay trở lại dạng cơ bản để phá dấu trị tuyệt đối.

Bài tập 4

• Đáp số:

  • a) $x = \frac{164}{25}$ hoặc $x = \frac{116}{75}$

  • b) $x = -\frac{55}{4}$ hoặc $x = -\frac{25}{164}$

• Hướng dung giải:

  • Bước đầu tiên, các em cần chuyển vế đơn thức mang dấu trừ sang vế phải để đưa phương trình từ dạng hiệu về dạng chuẩn: $|A(x)| = |B(x)|$.

  • Sau khi chia hai trường hợp bằng nhau và đối nhau, thử thách ở bài toán này là kỹ năng quy đồng mẫu số chung cho các phân số chứa hệ số của biến $x$ và hằng số tự do để thu gọn biểu thức một cách chính xác.

Bài tập 5

• Đáp số:

  • a) $x = -\frac{2}{3}$

  • b) $x = 8$ hoặc $x = \frac{6}{5}$

• Hướng dẫn giải:

  • Đây là dạng toán nâng cao $|A(x)| = B(x)$ chứa biến ở cả hai vế, yêu cầu bắt buộc phải xét điều kiện chặn chặt chẽ.

  • Với câu a, biến đổi về dạng $|4 + 2x| = -4x$. Thiết lập điều kiện vế phải không âm: $-4x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$. Giải hai trường hợp, ta tìm được hai nghiệm là $x = -2$ và $x = -\frac{2}{3}$. Đối chiếu điều kiện chặn $x \leq 0$, cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

  • Với câu b, biến đổi về dạng $|3x - 7| = 2x + 1$. Thiết lập điều kiện vế phải không âm: $2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$. Tiến hành giải hai trường hợp, ta tìm được hai nghiệm là $x = 8$ và $x = \frac{6}{5}$. Đối chiếu điều kiện chặn $x \geq -\frac{1}{2}$, cả hai giá trị đều thỏa mãn và được nhận làm nghiệm của phương trình.