Giải bài 3 trang 54 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều: Giải bất phương trình

Đề bài:

Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² – 5x + 3 > 0

b) –x² – 2x + 8 ≤ 0

c) 4x² – 12x + 9 < 0 

d) –3x² + 7x – 4 ≥ 0

Phân tích và Phương pháp giải

Để giải các bất phương trình bậc hai, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm nghiệm của tam thức bậc hai: Giải phương trình bậc hai ax²+bx+c=0 để tìm nghiệm (nếu có).

2. Xác định dấu của hệ số a: Tìm dấu của hệ số $a$ (hệ số của x²).

3. Áp dụng định lý về dấu:

   • Nếu tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁​,x₂​: Dấu của tam thức cùng dấu với $a$ khi $x$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm, và khác dấu với $a$ khi $x$ nằm trong khoảng hai nghiệm.

   • Nếu tam thức có nghiệm kép: Dấu của tam thức cùng dấu với $a$ với mọi $x$ (ngoại trừ tại nghiệm kép, tam thức bằng 0).

   • Nếu tam thức vô nghiệm: Dấu của tam thức cùng dấu với $a$ với mọi $x$.

4. Kết luận tập nghiệm: Dựa vào dấu của tam thức và dấu bất đẳng thức của đề bài để tìm tập nghiệm cuối cùng.

Lời giải chi tiết:

a) 2x² – 5x + 3 > 0

- Tam thức bậc hai 2x² – 5x + 3 có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 3/2 và có hệ số a = 2 > 0.

- Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy:

Tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x² – 5x + 3 mang dấu "+" là:

x < 1 hoặc x > 3/2

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình 2x² – 5x + 3 > 0 là:

b) –x² – 2x + 8 ≤ 0

Tam thức bậc hai –x² – 2x + 8 có hai nghiệm là x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy:

Tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức –x² – 2x + 8 không dương là:

x ≤ –4 hoặc x ≥ 2. 

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình –x² – 2x + 8 là (–∞; –4] ∪ [2; +∞). 

c) 4x² – 12x + 9 < 0 

Tam thức bậc hai 4x² – 12x + 9 có ∆ = (–12)² – 4 . 4 . 9 = 0. 

Nên có nghiệm kép là x = 3/2.

Mà hệ số a = 4 > 0. 

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có: 4x² – 12x + 9 > 0 với mọi x ∈ R\{3/2} và 4x² – 12x + 9 = 0 tại x = 3/2.

⇒ Không tồn tại giá trị nào của x để 4x² – 12x + 9 < 0

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

d) –3x² + 7x – 4 ≥ 0

Tam thức bậc hai –3x² + 7x – 4 có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 4/3 và hệ số a = –3 < 0.

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy –3x² + 7x – 4 không âm khi 1 ≤ x ≤ 4/3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình –3x² + 7x – 4 ≥ 0 là: