Giải bài 5 trang 54 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một cung parabol, nên hàm số biểu thị độ cao $h$ theo thời gian $t$ có dạng $h = at^2 + bt + c$ ($a \neq 0$).

1. Tìm hàm số (câu a): Ta sử dụng ba điểm tọa độ $(t; h)$ đã cho để lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $a, b, c$:

   • Khởi điểm: $A(0; 0,2)$.

   • Sau 1 giây: $(1; 8,5)$.

   • Sau 2 giây: $(2; 6)$.

2. Khoảng thời gian chưa chạm đất (câu b): Quả bóng chưa chạm đất khi độ cao $h > 0$. Ta cần giải bất phương trình bậc hai $at^2 + bt + c > 0$.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

Giả sử hàm số có dạng: h = at² + bt + c,

Trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm với a ≠ 0. 

Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2. 

Khi đó: h = at² + bt + 0,2

Mặt khác, quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và 6 m sau 2 giây, vì vậy quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ (1; 8,5) và (2; 6). 

Nên ta có hệ: 

Giải hệ này ta được: a = –5,4 và b = 13,7

⇒ Hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là:

h = –5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0. 

⇒ –5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0, đây là bất phương trình bậc hai một ẩn với ẩn t. 

Tam thức bậc hai –5,4t² + 13,7t + 0,2 có hai nghiệm:

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có h > 0 khi t₁ < t < t₂

⇔ –0,0145 < t < 2,55

Vì t > 0 nên suy ra: 0 < t < 2,55

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian t = 2,55 giây thì quả bóng chưa chạm đất.