Giải bài 4 trang 48 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. 

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x. 

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này được chia làm hai phần:

1. Thiết lập hàm doanh thu (câu a):

   • Biến $x$: Số người thêm vào từ người thứ 51 trở lên ($x \in \mathbb{N}, x \ge 1$).

   • Tổng số khách: $50 + x$.

   • Giá vé/người: Giá gốc ($300.000$) trừ đi phần giảm ($5.000x$).

   • Doanh thu ($DT$): (Tổng số khách) $\times$ (Giá vé/người).

2. Xác định số người tối đa để không lỗ (câu b):

   • Lợi nhuận ($LN$): $LN = DT - \text{Chi phí}$.

   • Điều kiện không lỗ: $LN \ge 0$.

   • Ta giải bất phương trình bậc hai $LN(x) \ge 0$ bằng cách xét dấu tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm nên x ∈ N^*

Khi đó tổng số khách của nhóm là 50 + x (người). 

Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách nên thêm x người thì giá vẽ sẽ giảm 5 000x (đồng/người). 

Như vậy, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm 50 + x người là:

300 000 – 5 000x (đồng).

Khi đó tổng số tiền vé của nhóm 50 + x người hay chính là doanh thu của công ty là 

DT = (300 000 – 5 000x). (50 + x) = – 5 000x² + 50 000x + 15 000 000. 

b) Vì chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng nên lợi nhuận của công ty là doanh thu trừ đi chi phí thực sự và là 

y = DT – 15 080 000 

= (–5 000x² + 50 000x + 15 000 000) – 15 080 000 

= –5 000x² + 50 000x – 80 000   (đồng)

Xét tam thức bậc hai y = f(x) = –5 000x² + 50 000x – 80 000. 

Nhận thấy f(x) có hai nghiệm là x₁ = 2, x₂ = 8 và hệ số a = –5 000 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vì x ∈ N^* nên công ty không lỗ (công ty lời hoặc hòa vốn) khi f(x) ≥ 0, tức là 2 ≤ x ≤ 8.

Như vậy, số lượng khách từ người thứ 51 trở lên nhiều nhất là 8 người thì công ty du lịch không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là 50 + 8 = 58 người. 

⇒ Số người của nhóm du lịch nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ.