Giải bài 4 trang 71 Toán 10 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;   

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°. 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

• Góc bù (α và 180∘−α):

  $$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$$
  $$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$$
  $$\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$$
  $$\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$$

• Góc phụ (α và 90∘−α):

  $$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$$
  $$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$$
  $$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$$
  $$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan \alpha$$

• Hằng đẳng thức: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

• Giá trị đặc biệt: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 180^\circ = 0$, $\tan 45^\circ = 1$, $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.

Lời giải chi tiết:

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

= cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)

= cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°  

= cos 0° + cos 120°

= 1 + (-1/2) (giá trị lượng giác của góc đặc biệt)

= 1/2

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

= sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°

= sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°

= sin 150° + sin 180°

= 1/2 + 0 (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)

= 1/2

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°   

= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)  

= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°      (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

= 0. 

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

= tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°) 

= cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)

= –(cot 65° . tan 65°) . tan 45°

 = (–1) . 1 (vì tanα.cotα = 1 và tan45^o = 1)

= –1. 

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°

= cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)

= tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)

= –(tan 80° . cot 80°) . cot 30°

= (–1).  (vì tanα.cotα = 1)

=