Các dạng bài tập về hàm số, đồ thị hàm số y=ax và cách giải - Toán lớp 7

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm, phân loại 9 dạng bài tập thường gặp cùng phương pháp giải chi tiết, mạch lạc để các em học sinh cùng ôn tập và thực hành.

I. Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nhớ

1. Khái niệm về hàm số và biến số

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$ ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$ và $x$ được gọi là biến số.

• Hàm hằng: Nếu biến số $x$ thay đổi mà đại lượng $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì $y$ được gọi là hàm hằng.

2. Hàm số đồng biến và nghịch biến

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$:

• Hàm số đồng biến: Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, nếu $x_1 < x_2$ mà $f(x_1) < f(x_2)$ thì hàm số tăng (đồng biến).

• Hàm số nghịch biến: Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, nếu $x_1 < x_2$ mà $f(x_1) > f(x_2)$ thì hàm số giảm (nghịch biến).

• Đối với hàm số $y = ax$ ($a \neq 0$): Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 0$ và luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $a < 0$.

3. Đồ thị của hàm số

• Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng $(x; y)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

• Đồ thị của hàm số $y = ax$ ($a \neq 0$) luôn luôn là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ và điểm $A(1; a)$.

II. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp Và Phương Pháp Giải

Dạng 1: Xác định đại lượng $y$ có phải là hàm số của đại lượng $x$ không

• Phương pháp giải: Kiểm tra điều kiện tiên quyết của định nghĩa: ứng với mỗi giá trị của đại lượng $x$ trong bảng hoặc công thức, ta có tìm được duy nhất một giá trị tương ứng của đại lượng $y$ hay không. Nếu có một giá trị của $x$ tương ứng với từ hai giá trị của $y$ trở lên thì $y$ không phải là hàm số của $x$.

Ví dụ 1: Các giá trị tương ứng của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho trong bảng sau:

Đại lượng $y$ có phải là hàm số của đại lượng $x$ không?

Lời giải:

Khi quan sát bảng số liệu, ta thấy ứng với mỗi giá trị cụ thể của biến số $x$ luôn luôn chỉ xác định được duy nhất một giá trị tương ứng của đại lượng $y$ (dù có những giá trị $y$ giống nhau như khi $x = -4$ và $x = 4$ đều cho $y = 16$, điều này vẫn đúng định nghĩa).

Kết luận: Đại lượng $y$ là hàm số của đại lượng $x$.

Ví dụ 2: Đại lượng $y$ có phải là hàm số của đại lượng $x$ không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là:

a) Bảng số liệu 1:

b) Bảng số liệu 2:

Lời giải:

• a) Dựa vào bảng số liệu 1, ta thấy ứng với mỗi giá trị của biến số $x$ ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của $y$.

  Kết luận: Đại lượng $y$ là hàm số của đại lượng $x$.

• b) Dựa vào bảng số liệu 2, ứng với mỗi giá trị của $x$ ta luôn tìm được duy nhất một giá trị $y = 2$. Trong trường hợp này, dù biến $x$ thay đổi thế nào thì đại lượng $y$ vẫn giữ nguyên một giá trị hằng số.

  Kết luận: Đại lượng $y$ là hàm số của đại lượng $x$ (đây là một hàm hằng).

Dạng 2: Tính giá trị của hàm số khi biết trước giá trị của biến số

• Phương pháp giải: * Nếu hàm số được cho dưới dạng bảng số liệu: Giá trị tương ứng của biến $x$ và hàm số $y$ sẽ nằm cùng trên một cột dọc.

  • Nếu hàm số được cho dưới dạng công thức biểu thức $y = f(x)$: Ta thực hiện thay trực tiếp giá trị của biến $x$ đề bài cho vào vị trí của $x$ trong công thức để tính toán ra giá trị số học của $y$.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = f(x) = 3x^2 + 1$. Hãy tính các giá trị sau: $f\left(\frac{1}{2}\right)$; $f(1)$; $f(3)$.

Lời giải:

thực hiện thay các giá trị của biến vào công thức hàm số:

• $f\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 3 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} + \frac{4}{4} = \frac{7}{4}$

• $f(1) = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$

• $f(3) = 3 \cdot 3^2 + 1 = 3 \cdot 9 + 1 = 28$

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = 5x - 1$. Hãy lập bảng các giá trị tương ứng của đại lượng $y$ khi biết các giá trị của biến $x$ lần lượt bằng: $-5; -4; -3; -2; 0; \frac{1}{5}$.

Lời giải:

Ta lần lượt tính toán giá trị của hàm số ứng với từng điểm:

• Khi $x = -5 \Rightarrow y = 5 \cdot (-5) - 1 = -25 - 1 = -26$

• Khi $x = -4 \Rightarrow y = 5 \cdot (-4) - 1 = -20 - 1 = -21$

• Khi $x = -3 \Rightarrow y = 5 \cdot (-3) - 1 = -15 - 1 = -16$

• Khi $x = -2 \Rightarrow y = 5 \cdot (-2) - 1 = -10 - 1 = -11$

• Khi $x = 0 \Rightarrow y = 5 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$

• Khi $x = \frac{1}{5} \Rightarrow y = 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$

Ta thiết lập được bảng giá trị tương ứng hệ thống như sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{12}{x}$.

a) Hãy tính giá trị của $f(5)$ và $f(-3)$.

b) Điền các giá trị tương ứng thích hợp của hàm số vào bảng trống sau đây:

Lời giải:

• a) Thực hiện phép tính phân số:

  $$f(5) = \frac{12}{5} = 2,4$$
  $$f(-3) = \frac{12}{-3} = -4$$

• b) Thay lần lượt các giá trị của biến $x$ vào công thức hàm số để tìm đại lượng $y$:

  • Với $x = -6 \Rightarrow y = \frac{12}{-6} = -2$

  • Với $x = -4 \Rightarrow y = \frac{12}{-4} = -3$

  • Với $x = -3 \Rightarrow y = \frac{12}{-3} = -4$

  • Với $x = 2 \Rightarrow y = \frac{12}{2} = 6$

  • Với $x = 5 \Rightarrow y = \frac{12}{5} = 2,4$

  • Với $x = 6 \Rightarrow y = \frac{12}{6} = 2$

  • Với $x = 12 \Rightarrow y = \frac{12}{12} = 1$

Ta hoàn thiện bảng số liệu thu được:

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = f(x) = x^2 - 2$. Hãy tính toán các giá trị: $f(2); f(1); f(0); f(-1); f(-2)$.

Lời giải:

• $f(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

• $f(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

• $f(0) = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

• $f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

• $f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = f(x) = 1 - 8x$. Hãy kiểm tra xem các khẳng định sau đây là đúng hay sai:

a) $f(-1) = 9$

b) $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -3$

c) $f(3) = 25$

Lời giải:

Ta thực hiện tính toán giá trị của hàm số tại từng điểm để đối chiếu:

• a) $f(-1) = 1 - 8 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \Rightarrow$ Khẳng định a là Đúng.

• b) $f\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 4 = 5$. Đề bài ghi kết quả bằng $-3 \Rightarrow$ Khẳng định b là Sai.

  (Lưu ý: Lỗi sai học sinh thường gặp ở đây là nhầm lẫn dấu hoặc quên đổi dấu trừ thành cộng khi nhân hai số âm).

• c) $f(3) = 1 - 8 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$. Đề bài ghi kết quả bằng $25 \Rightarrow$ Khẳng định c là Sai.

Ví dụ 6: Cho hàm số $y = \frac{2}{3}x$. Điền các số số học thích hợp vào ô trống dưới đây:

Lời giải:

• Khi $x = -0,5 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot (-0,5) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3}$

• Khi $y = -2 \Rightarrow -2 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = -2 : \frac{2}{3} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$

• Khi $y = 0 \Rightarrow 0 = \frac{2}{3}x \Rightarrow x = 0$

• Khi $x = 4,5 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot 4,5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 3$

• Khi $x = 9 \Rightarrow y = \frac{2}{3} \cdot 9 = 2 \cdot 3 = 6$

Ta hoàn thiện bảng dữ liệu:

Dạng 3: Xác định tọa độ điểm, biểu diễn điểm và tính diện tích hình học

• Phương pháp giải: * Cặp số $(x_0; y_0)$ biểu thị tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, trong đó giá trị $x_0$ đứng trước là hoành độ (nằm trên trục ngang Ox) và giá trị $y_0$ đứng sau là tung độ (nằm trên trục dọc Oy).

  • Điểm nằm trên trục hoành Ox thì luôn có tung độ bằng 0 ($y = 0$). Điểm nằm trên trục tung Oy thì luôn có hoành độ bằng 0 ($x = 0$).

  • Khi tính diện tích các đa giác dựng được trên hệ trục, các em có thể tính trực tiếp bằng công thức hình học hoặc tính gián tiếp bằng cách lấy diện tích của hình chữ nhật bao quanh trừ đi diện tích của các phần tam giác vuông thừa xung quanh.

Ví dụ 1: Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm: A(3;-1/2); B(-4;2/4); C(0;2,5)

Lời giải:

Cặp số (x₀;y₀) gọi là tọa độ của một điểm M với x₀ là hoành độ và y₀ là tung độ của điểm M.

Điểm A(3;-1/2) có hoành độ là 3; tung độ là -1/2

Tương tự các điểm B(-4;2/4); C(0;2,5) được vẽ trên trục như sau

Ví dụ 2: Xác định tọa độ các điểm $M, N, P, Q$ xuất hiện trên hệ trục tọa độ (hình dưới) và đưa ra nhận xét về mối liên hệ tọa độ giữa chúng.

Lời giải:

• Từ vị trí hình chiếu vuông góc của các điểm lên hai trục tọa độ Ox và Oy, ta xác định được:

  $M(-3; 2)$; \ $N(2; -3)$; \ $P(0; -2)$; \ $Q(-2; 0)$

• Nhận xét tinh tế: Khi đối chiếu từng cặp điểm, ta thấy trong cặp điểm $M$ và $N$, hoành độ của điểm này chính bằng tung độ của điểm kia và ngược lại. Điều tương tự cũng diễn ra đối với cặp điểm $P$ và $Q$.

Ví dụ 3: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ và hình tam giác vuông $PQR$ được mô tả trên mặt phẳng Oxy.

Lời giải:

Dựa vào phương pháp dóng vuông góc lên hai trục tọa độ đại số, ta đọc được tọa độ các đỉnh như sau:

• Các đỉnh hình chữ nhật: $A(0,5; 2)$; \ $B(2; 2)$; \ $C(2; 0)$; \ $D(0,5; 0)$.

  (Nhận thấy đỉnh $C$ và $D$ nằm ngay trên trục hoành Ox nên tung độ của chúng bằng 0).

• Các đỉnh hình tam giác: $P(-3; 3)$; \ $Q(-1; 1)$; \ $R(-3; 1)$.

Ví dụ 4: Dựng một hệ trục tọa độ Oxy, thực hiện biểu diễn các điểm sau lên mặt phẳng: $A(-4; -1)$; $B(-2; -1)$; $C(-2; -3)$; $D(-4; -3)$. Hỏi tứ giác $ABCD$ vừa dựng xong là hình gì?

Lời giải:

Sau khi xác định đúng vị trí các điểm trên lưới tọa độ Oxy, ta tiến hành nối các điểm theo thứ tự $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$:

• Tính độ dài các cạnh dựa trên số ô đơn vị: Đoạn $AB = |-2 - (-4)| = 2$ đơn vị; Đoạn $BC = |-1 - (-3)| = 2$ đơn vị; Đoạn $CD = 2$ đơn vị; Đoạn $DA = 2$ đơn vị.

• Các cạnh đối diện song song song và vuông góc với các trục tọa độ, suy ra các góc đều là góc vuông.

  Kết luận: Tứ giác $ABCD$ có 4 cạnh bằng nhau và có các góc vuông nên nó là hình vuông.

Dạng 4: Kiểm tra một điểm $M(x_0; y_0)$ có thuộc đồ thị hàm số hay không

• Phương pháp giải: Ta thực hiện lấy hoành độ $x_0$ thay vào vị trí của $x$ và tung độ $y_0$ thay vào vị trí của $y$ trong công thức hàm số. Nếu ta thu được một đẳng thức số học đúng, ta kết luận điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số. Ngược lại, nếu đẳng thức sai, điểm $M$ không thuộc đồ thị hàm số.

Ví dụ: Cho hàm số $y = -3x$. Hãy kiểm tra xem trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị của hàm số: $A\left(-\frac{1}{3}; 1\right)$; $B\left(-\frac{1}{3}; -1\right)$; $C(0; 0)$.

Lời giải:

• Xét điểm $A\left(-\frac{1}{3}; 1\right)$: Thay $x = -\frac{1}{3}$ vào công thức hàm số, ta có vế phải:

  $-3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1$

  Nhận thấy giá trị tính ra bằng đúng tung độ $y = 1$ của điểm $A$. Đẳng thức đúng.

  Kết luận: Điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số $y = -3x$.

• Xét điểm $B\left(-\frac{1}{3}; -1\right)$: Thay $x = -\frac{1}{3}$ vào công thức hàm số:

  $-3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1$

  Nhận thấy giá trị tính ra bằng $1$, khác với tung độ $y = -1$ của điểm $B$ ($1 \neq -1$). Đẳng thức sai.

  Kết luận: Điểm $B$ không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

• Xét điểm $C(0; 0)$: Thay $x = 0$ vào công thức hàm số:

  $-3 \cdot 0 = 0$

  Nhận thấy giá trị tính ra bằng đúng tung độ $y = 0$. Đẳng thức đúng.

  Kết luận: Điểm $C$ thuộc đồ thị hàm số đã cho (Đồ thị luôn đi qua gốc tọa độ).

Dạng 5: Tìm hệ số $a$ của hàm số $y = ax$ khi biết đồ thị đi qua một điểm

• Phương pháp giải: Gọi điểm đồ thị đi qua là $M(x_0; y_0)$ với $x_0 \neq 0$. Vì điểm $M$ thuộc đồ thị nên tọa độ của nó phải nghiệm đúng công thức hàm số. Ta thay giá trị $x_0$ và $y_0$ vào hệ thức $y = ax$ để tính ra hệ số:

  $$a = \frac{y_0}{x_0}$$

Ví dụ: Cho đường thẳng OA biểu diễn đồ thị của hàm số $y = ax$ biết điểm $A$ có tọa độ $A(2; 1)$.

a) Hãy xác định giá trị của hệ số $a$.

b) Tìm tọa độ điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$.

c) Tìm tọa độ điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng $-1$.

Lời giải:

• a) Vì điểm $A(2; 1)$ thuộc đường thẳng đồ thị hàm số $y = ax$, nên ta thay $x = 2$ và $y = 1$ vào phương trình:

  $$1 = a \cdot 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

  Vậy hệ số cần tìm là $a = \frac{1}{2}$, hàm số có công thức biểu thức: $y = \frac{1}{2}x$.

• b) Điểm thuộc đồ thị có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$ nghĩa là $x = \frac{1}{2}$. Thay vào công thức hàm số ta tìm được tung độ $y$:

  $$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

  Vậy điểm cần tìm có tọa độ là $B\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right)$.

• c) Điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $-1$ nghĩa là $y = -1$. Thay vào công thức hàm số ta tìm được hoành độ $x$:

  $$-1 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = -1 : \frac{1}{2} = -2$$

  An tâm kết luận, điểm cần tìm có tọa độ là $C(-2; -1)$.

- Ta có hình minh họa sau:

Dạng 6: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ and $y = g(x)$

• Phương pháp giải: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm bằng cách cho hai biểu thức hàm số bằng nhau: $f(x) = g(x)$. Giải phương trình này để tìm ra nghiệm $x_0$. Sau đó, đem giá trị $x_0$ thay ngược lại vào một trong hai công thức hàm số ban đầu để tính nốt tung độ $y_0$. Cặp số $(x_0; y_0)$ chính là tọa độ giao điểm cần tìm.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đường thẳng $y = 2x$ và $y = x + 2$.

Lời giải:

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:

Thay giá trị hoành độ $x = 2$ vào công thức đường thẳng thứ nhất, ta tính được tung độ:

Vậy hai đồ thị hàm số trên cắt nhau tại điểm duy nhất có tọa độ là $A(2; 4)$.

Dạng 7: Chứng minh ba điểm cho trước thẳng hàng trên mặt phẳng tọa độ

• Phương pháp giải: Ta có thể lựa chọn giải quyết bài toán theo một trong hai hướng sau:

  • Cách 1 (Lập tỉ số hệ số): Nếu ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ dạng $y = ax$, ta tính các tỉ số $\frac{y}{x}$ của từng điểm. Nếu các tỉ số này bằng nhau và cùng ra một hằng số $a$, ta kết luận ba điểm thẳng hàng.

  • Cách 2 (Viết phương trình đường thẳng): Lấy tọa độ của hai điểm đầu tiên để xác định công thức đường thẳng đi qua chúng. Sau đó, lấy tọa độ của điểm thứ ba thay vào công thức vừa tìm được. Nếu thỏa mãn đẳng thức thì ba điểm thẳng hàng, nếu vi phạm thì không thẳng hàng.

Ví dụ 1: Chứng minh ba điểm sau đây thẳng hàng trên mặt phẳng tọa độ: $A(1; 2)$; $B(3; 6)$; $C(4; 8)$.

Lời giải:

Ta thực hiện lập tỉ số giữa tung độ và hoành độ của từng điểm để kiểm tra tính đồng dạng:

Nhận thấy các tỉ số đều bằng nhau và cùng bằng hằng số $2$. Điều này chứng tỏ cả ba điểm $A, B, C$ đều thuộc đồ thị của hàm số đường thẳng $y = 2x$.

Kết luận: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho tọa độ ba điểm: $A(1; 2)$, $B(2; 4)$ và $C(2a; a+1)$. Hãy tìm giá trị của tham số $a$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Lời giải:

Xét hai điểm $A(1; 2)$ và $B(2; 4)$, ta thấy tỉ số tung độ chia hoành độ là: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$. Do đó, đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ có phương trình dạng $y = 2x$.

Để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng thì điểm thứ ba $C(2a; a+1)$ bắt buộc phải nằm trên đường thẳng $y = 2x$. Ta thay tọa độ điểm $C$ vào phương trình đường thẳng:

Vậy với $a = \frac{1}{3}$ thì ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Dạng 8: Xác định công thức hàm số từ bảng số liệu và xét tính đồng biến/nghịch biến

• Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức chuyên đề đại lượng tỉ lệ thuận để tìm hệ số liên hệ $a = \frac{y}{x}$. Sau khi viết được công thức hàm số $y = ax$, ta xét hệ số $a$: nếu $a > 0$ thì hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$; nếu $a < 0$ thì hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ: Cho bảng số liệu thực nghiệm dưới đây. Hãy xác định công thức hàm số của $y$ theo $x$ và cho biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Lời giải:

Ta lập tỉ số giữa các cặp đại lượng tương ứng trên cùng một cột:

Do tỉ số không đổi và luôn bằng 2, ta xác định được công thức hàm số của biểu thức là: $y = 2x$.

Xét hệ số góc của đường thẳng: Vì $a = 2 > 0$ nên ta kết luận hàm số này là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Dạng 9: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc vuông góc

• Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng có công thức tổng quát lần lượt là $(d_1): y = a_1x + b_1$ và $(d_2): y = a_2x + b_2$. Khi đó:

  • Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ số góc khác nhau: $a_1 \neq a_2$.

  • Hai đường thẳng song song với nhau khi: $a_1 = a_2$ và hằng số tự do $b_1 \neq b_2$.

  • Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi giống nhau hoàn toàn: $a_1 = a_2$ và $b_1 = b_2$.

  • Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích hai hệ số góc bằng $-1$: $a_1 \cdot a_2 = -1$.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng có phương trình là $y = (a + 1)x - 2$ và $y = 2x$. Tìm giá trị của tham số $a$ để hai đường thẳng trên cắt nhau, song song với nhau, hoặc vuông góc với nhau.

Lời giải:

Xác định các hệ số của hai đường thẳng: $a_1 = a + 1, b_1 = -2$ và $a_2 = 2, b_2 = 0$.

• Trường hợp cắt nhau: Đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau:

  $$a + 1 \neq 2 \Rightarrow a \neq 1$$

• Trường hợp song song: Hai đường thẳng song song khi hệ số góc bằng nhau (do hằng số tự do đã khác nhau sẵn $-2 \neq 0$):

  $$a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$$

• Trường hợp vuông góc: Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc bằng $-1$:

  $$(a + 1) \cdot 2 = -1$$
  $$2a + 2 = -1$$
  $$2a = -3$$
  $$a = -\frac{3}{2}$$

• Trường hợp trùng nhau: Vì hệ số tự do $b_1 = -2$ luôn khác $b_2 = 0$ nên hai đường thẳng này không thể trùng nhau với mọi giá trị của $a$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập Để Học Sinh Tự Giải

Các em học sinh hãy áp dụng các phương pháp giải phù hợp của từng dạng toán trên để thực hành giải danh sách bài tập chuyên đề dưới đây:

Bài tập 1: Viết công thức của hàm số $y = f(x)$ biết rằng đại lượng $y$ tỉ lệ thuận với biến số $x$ theo hệ số tỉ lệ bằng $\frac{1}{4}$.

a) Tìm giá trị của $x$ để hàm số đạt giá trị $f(x) = -5$.

b) Chứng tỏ bằng lý thuyết định nghĩa rằng nếu $x_1 > x_2$ thì ta luôn có $f(x_1) > f(x_2)$.

Bài tập 2: Viết công thức của hàm số $y = f(x)$ biết rằng đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với biến số $x$ theo hệ số tỉ lệ $a = 6$.

a) Tìm giá trị của biến $x$ để hàm số đạt giá trị $f(x) = 1$.

b) Tìm giá trị của biến $x$ để hàm số đạt giá trị $f(x) = 2$.

c) Chứng minh đẳng thức dấu đối xứng của hàm số luôn thỏa mãn: $f(-x) = -f(x)$.

Bài tập 3: Cho đồ thị của hàm số đường thẳng $y = ax$ đi qua điểm $A(4; 2)$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Xác định hệ số góc $a$ và tiến hành vẽ đồ thị của hàm số đó trên giấy.

b) Cho thêm tọa độ hai điểm độc lập là $B(-2; -1)$ và $C(5; 3)$. Không cần biểu diễn hai điểm $B$ và $C$ lên trục tọa độ, em hãy kiểm tra và cho biết ba điểm $A, B, C$ có thẳng hàng với nhau không?

Bài tập 4: Cho hàm số có biểu thức công thức là: $y = -\frac{1}{3}x$.

a) Hãy vẽ đường thẳng đồ thị của hàm số này trên hệ trục Oxy.

b) Kiểm tra xem trong các điểm sau đây, những điểm nào thuộc đồ thị hàm số: $A(-3; 1)$; $B(6; 2)$; $P(9; -3)$.

Bài tập 5: Hàm số ẩn $f(x)$ được cho dưới dạng bảng số liệu thực nghiệm sau:

a) Đọc giá trị của $f(-4)$ và $f(-2)$ trực tiếp từ bảng.

b) Hãy tìm công thức toán học biểu diễn hàm số $f(x)$ trên.

Bài tập 6: Cho hàm số đường thẳng đơn giản: $y = x$.

a) Vẽ đường thẳng đồ thị $(d)$ của hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

b) Cho điểm $M$ có tọa độ $(3; 3)$. Điểm $M$ có nằm trên đường thẳng $(d)$ không? Vì sao?

c) Qua vị trí điểm $M$, ta dựng một đường thẳng vuông góc với $(d)$, đường thẳng này cắt trục hoành Ox tại điểm $A$ và cắt trục tung Oy tại điểm $B$. Hãy cho biết tam giác $OAB$ được tạo thành là tam giác gì? Vì sao?

Bài tập 7: Cho hàm số bậc nhất dạng $y = ax$ được mô tả qua bảng số liệu sau (biết rằng có một ô số liệu bị viết nhầm dấu):

a) Xác định hệ số góc $a$ chính xác của hàm số.

b) Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$? Tại sao?