Cách so sánh hai số hữu tỉ và bài tập vận dụng - Toán 7 chuyên đề

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa lại toàn bộ các phương pháp so sánh hai số hữu tỉ từ cơ bản đến nâng cao, đi kèm các ví dụ minh họa trực quan và lời giải chi tiết giúp các em học sinh ôn tập hiệu quả.

I. Các Phương Pháp So Sánh Hai Số Hữu Tỉ Cốt Lõi

Để so sánh hai số hữu tỉ bất kỳ dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, các em có thể linh hoạt lựa chọn áp dụng một trong các phương pháp tối ưu sau đây tùy thuộc vào cấu trúc của đề bài:

• Phương pháp 1 (Quy đồng mẫu số): Đưa hai số hữu tỉ về dạng phân số có cùng một mẫu số dương. Phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

• Phương pháp 2 (So sánh cùng tử số): Nếu hai phân số có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

• Phương pháp 3 (So sánh với số trung gian): Sử dụng các hằng số đặc biệt làm mốc so sánh bắc cầu như số $0$, số $1$, số $-1$.

• Phương pháp 4 (Dựa vào phần bù tới số 1): Áp dụng cho các phân số nhỏ hơn 1. Trong hai phân số, phân số nào có phần bù tới đơn vị lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

• Phương pháp 5 (Dựa vào phần hơn lớn hơn số 1): Áp dụng cho các phân số lớn hơn 1. Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

• Phương pháp 6 (Dựa vào phân số trung gian): Thiết lập một phân số trung gian bằng cách lấy tử số của phân số này kết hợp với mẫu số của phân số kia để làm cầu nối so sánh.

• Tính chất bất đẳng thức bổ trợ: Nếu $a, b, c \in \mathbb{Z}$ và có $a < b$ thì ta luôn có hệ thức đúng:

  $$a + c < b + c$$

II. Hệ Thống Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: So sánh các số hữu tỉ bằng phương pháp quy đồng

Thực hiện so sánh các cặp số hữu tỉ sau đây:

• a) $x = -2\frac{1}{5}$ và $y = \frac{-110}{50}$

• b) $x = \frac{17}{20}$ và $y = 0,75$

Lời giải chi tiết:

a) Ta đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản và quy đồng mẫu số dương:

Biến đổi hỗn số $x$:

Rút gọn phân số $y$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho 10:

Nhận thấy hai giá trị sau khi thu gọn bằng nhau.

Kết luận: Vậy $x = y$.

b) Ta chuyển đổi số thập phân về phân số để đưa về cùng một mẫu số dương:

Biến đổi số thập phân $y$:

Quy đồng mẫu số chung của hai phân số thành số 20:

So sánh hai phân số cùng mẫu số dương là 20:

Vì tử số có quan hệ $15 < 17$ nên ta có:

Do đó $y < x$.

Kết luận: Vậy $x = \frac{17}{20} > y = 0,75$.

Bài tập 2: So sánh số hữu tỉ dựa theo phần bù và phần hơn với số 1

Thực hiện so sánh các cặp số hữu tỉ sau đây:

• a) $x = \frac{2000}{2001}$ và $y = \frac{2001}{2002}$

• b) $x = \frac{2001}{2000}$ và $y = \frac{2002}{2001}$

Lời giải chi tiết:

a) Nhận thấy cả hai phân số đều nhỏ hơn 1, ta vận dụng phương pháp so sánh bằng phần bù tới số 1:

Xét phần bù của số hữu tỉ $x$:

Xét phần bù của số hữu tỉ $y$:

So sánh hai phân số phần bù có cùng tử số bằng 1:

Vì mẫu số có quan hệ $2001 < 2002$ nên ta có:

Do phần bù của $x$ lớn hơn phần bù của $y$ ($1 - x > 1 - y$), nên giá trị của phân số $x$ phải nhỏ hơn $y$.

Kết luận: Vậy $y = \frac{2001}{2002} > x = \frac{2000}{2001}$.

b) Nhận thấy cả hai phân số đều lớn hơn 1, ta vận dụng phương pháp so sánh phần hơn vượt quá số 1:

Tách phần hỗn số của số hữu tỉ $x$:

Tách phần hỗn số của số hữu tỉ $y$:

So sánh hai phân số phần hơn có cùng tử số bằng 1:

Vì mẫu số có quan hệ $2000 < 2001$ nên ta có:

Do phần hơn của $x$ lớn hơn phần hơn của $y$ nên giá trị của phân số $x$ lớn hơn $y$.

Kết luận: Vậy $x = \frac{2001}{2000} > y = \frac{2002}{2001}$.

Bài tập 3: So sánh số hữu tỉ bằng cách chọn số mốc đơn vị 1

Thực hiện so sánh các cặp số hữu tỉ sau đây:

• a) $x = \frac{2001}{2000}$ và $y = \frac{2002}{2003}$

• b) $x = \frac{1001}{1000}$ và $y = \frac{1000}{1001}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta dùng số hằng số 1 làm mốc trung gian bắc cầu:

Xét phân số $x$: Vì tử số lớn hơn mẫu số ($2001 > 2000$) nên:

Xét phân số $y$: Vì tử số nhỏ hơn mẫu số ($2002 < 2003$) nên:

Bắc cầu qua số 1, ta lập được chuỗi quan hệ:

Kết luận: Vậy $x > y$.

b) Ta dùng số hằng số 1 làm mốc trung gian bắc cầu:

Xét phân số $x$: Vì tử số lớn hơn mẫu số ($1001 > 1000$) nên:

Xét phân số $y$: Vì tử số nhỏ hơn mẫu số ($1000 < 1001$) nên:

Bắc cầu qua số 1, ta lập được chuỗi quan hệ:

Kết luận: Vậy $x > y$.

Bài tập 4: So sánh hai số hữu tỉ bằng cách thiết lập phân số trung gian

Thực hiện so sánh cặp số hữu tỉ sau đây:

Lời giải chi tiết:

Đối với dạng bài toán này, việc quy đồng mẫu số hay tử số đều sinh ra các hằng số tính toán rất lớn. Ta chủ động chọn một phân số trung gian làm cầu nối bằng cách ghép tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Tiến hành so sánh phân số thứ nhất $x$ với phân số trung gian (cùng tử số dương là 45):

Vì mẫu số có quan hệ $67 > 65$ nên ta có:

Tiến hành so sánh phân số thứ hai $y$ với phân số trung gian (cùng mẫu số dương là 65):

Vì tử số có quan hệ $45 < 46$ nên ta có:

Từ hệ thức (1) và (2), bắc cầu qua phân số trung gian, ta thu được chuỗi bất đẳng thức:

Kết luận: Vậy $x < y$.