Các dạng bài tập toán về đơn thức, đa thức và bài tập - Toán lớp 7

Có khá nhiều dạng bài tập toán về đơn thức và đa thức, vì vậy trong bài viết chúng ta cùng ôn lại một số dạng toán thường gặp của đơn thức, đa thức. Đối với mỗi dạng toán sẽ có phương pháp làm và bài tập cùng hướng dẫn để các em dễ hiểu và vận dụng giải toán sau này.

A. Tóm tắt lý thuyết về đơn thức, đa thức

I. Lý thuyết về đơn thức

1. Đơn thức

- Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

* Ví dụ: 2, 3xy², (x³y²z).

2. Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến chỉ được viết một lần). Số nói trên gọi là hệ số (viết phía trước đơn thức) phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức (viết phía sau hệ số, các biến thường viết theo thứ tự của bảng chữ cái).

* Các bước thu gọn một đơn thức

- Bước 1: Xác định dấu duy nhất thay thế cho các dấu có trong đơn thức. Dấu duy nhất là dấu "+" nếu đơn thức không chứa dấu "-" nào hay chứa một số chẵn lần dấu "-". Dấu duy nhất là dấu "-" trong trường hợp ngược lại.

- Bước 2: Nhóm các thừa số là số hay là các hằng số và nhân chúng với nhau.

- Bước 3: Nhóm các biến, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí hiệu lũy thừa để viết tích các chữ cái giống nhau.

3. Bậc của đơn thức thu gọn

• Bậc của đơn thức có hệ số khác không là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
• Số thực khác 0 là đơn thức bậc không. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.

4. Nhân đơn thức 

- Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

II. Tóm tắt lý thuyết về đa thức

1. Khái niệm đa thức

- Đa thức là một đơn thức hoặc một tổng của hai hay nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Nhận xét:

- Mỗi đa thức là một biểu thức nguyên.

- Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

2. Thu gọn các số hạng đồng dạng trong đa thức:

- Nếu trong đa thức có chứa các số hạng đồng dạng thì ta thu gọn các số hạng đồng dạng đó để được một đa thức thu gọn.

- Đa thức được gọi là đã thu gọn nếu trong đa thức không còn hai hạng tử nào đồng dạng.

3. Bậc của đa thức

- Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

B. Các dạng bài tập toán về đơn thức, đa thức

• Dạng 1: Đọc và viết biểu thức đại số

* Phương pháp:

  - Ta đọc phép toán trước (nhân chia trước, cộng trừ sau), đọc các thừa số sau:

+ Lưu ý: x² đọc là bình phương của x, x³ là lập phương của x.

+ Ví dụ: x - 5 đọc là: hiệu của x và 5;

 2.(x+5) đọc là: Tích của 2 với tổng của x và 5

Bài 1: Viết biểu thức đại số:

 1) Tổng các lập phương của a và b

 2) Bình phương của tổng 3 số a, b, c

 3) Tích của tổng 2 số a và 3 với hiệu 2 số b và 3

 4) Tích của tổng 2 số a và b và hiệu các bình phương của 2 số đó

* Hướng dẫn:

 1) a³ + b³     2) (a+b+c)² 

 3) (a+3)(b-3)      4) (a-b)(a²-b²)

Bài 2: Đọc các biểu thức sau:

 a) 5x²   b) (x+3)²

* Hướng dẫn:

 a) Tích của 5 và x bình phương

 b) Bình phương của tổng x và 3

• Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số

* Phương pháp:

  Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số;

  Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số;

  Bước 3: Tính giá trị của biểu thức số.

+ Lưu ý: 

 |a|=|b| khi a = b hoặc a = -b

 |a|+|b| = 0 khi a = b = 0

 |a|+|b| ≤ 0 khi a = b = 0

 |a|+b²ⁿ ≤ 0 khi a = b = 0

 |a|=b (ĐK: b≥0) ⇒ a = b hoặc a = -b.

+ Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3x³y + 6x²y² + 3xy³ với x = -1 ; y = 2

- Biểu thức đã ở dạng rút gọn nên ta thay các giá trị x = -1 và y = 2 vào biểu thức được:

 3.(-1)³.2 + 6.(-1)².2² + 3.(-1).2³ = -6 + 24 + (-24) = -6

b) x² + 5x – 1 lần lượt tại x = -2,  x = 1

- Biểu thức đã ở dạng rút gọn, lần lượt thay x = -2, rồi x = 1 vào biểu tức ta được:

 (-2)² + 5.(-2) - 1 = 4 - 10 - 1 = -7

 (1)² + 5.(1) - 1 = 1 + 5 - 1 = 5

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

 a) -3x²y + x²y - xy² + 2 với  x = -1 : y = 2

 b) xy + x²y² + x³y³ + x⁴y⁴ tại x = 2 và y = -1

* Hướng dẫn

 a) -3.(-1)².2 + (-1)².2 - (-1).2² + 2 = -6 + 2 + 4 + 2 = 2

 b) 2.(-1) + 2².(-1)² + 2³.(-1)³ + 2⁴.(-1)⁴ = -2 + 4 - 8 + 16 = 10

Bài 2: Cho đa thức

 a) P(x) = x⁴ + 2x² + 2; tính P(-1).

 b) Q(x) = x⁴ + 4x³ + 2x² - 4x + 2; tính Q(1).

* Hướng dẫn

 a) P(-1) = (-1)⁴ + 2.(-1)² + 2 = 1 + 2 + 2 = 5

 b) Q(1) = (1)⁴ + 4 .(1)³ + 2.(1)² - 4.1 + 2 = 1 + 4 + 2 - 4 + 2 = 5

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:

1) A = x² - 3x + 2 biết |x - 2| = 1

2) B = 4xy - y² biết 2|x-1| + (y-2)² ≤ 0

* Hướng dẫn

1) |x - 2| = 1 ⇒ x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 ⇒ x = 3 hoặc x = 1

 Với x = 3, ta có: A = 3² - 3.3 + 2 = 2

 Với x = 1, ta có: A = 1² - 3.1 + 2 = 0

2) Vì |x-1|≥0 và (y-2)²≥0 nên 2|x-1| + (y-2)² ≤ 0 ⇔ x-1=0 và y-2=0 ⇔ x=1 và y=2

 Với x=1 và y=2, ta có: B = 4.1.2 - 2² = 4

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức

 1) A = x⁵ - 2019x⁴ + 2019x³ - 2019x² + 2019x - 2020 tại x=2018

 B = 2x⁵ + 3y³ biết (x-1)²⁰ + (y-2)³⁰ = 0

* Hướng dẫn:

1) A = x⁵ - 2018x⁴ - x⁴ + 2018x³ + x³ - 2018x² - x² + 2018x + x - 2020

 = x⁴(x-2018) - x³(x-2018) + x²(x-2018) - x(x-2018) + x - 2020

Tại x = 2018, ta có: A = 2018 - 2020 = -2

2) Vì (x-1)²⁰≥0 , (y-2)³⁰≥0 nên (x-1)²⁰ + (y-2)³⁰ = 0 khi x-1=0 và y-2=0 ⇔ x=1 và y=2

 Tại x=1 và y=2, ta có: B = 2.1⁵ + 3.2³ = 2 + 24 = 26

• Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN)

* Phương pháp:

 - Đưa về dạng f²(x) + a hoặc -f²(x) + a rồi đánh giá

 - Nếu biểu thức có dạng: ax² + bx + c = 

+ Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau

 1) A = (x-1)² - 10;

 2) B = -|x-1| - 2(2y-1)² + 100

* Hướng dẫn

1) Vì (x-1)² ≥ 0 nên (x-1)² - 10 ≥ -10. Vậy GTNN của A = -10 khi (x-1)²=0 khi x=1

2) Vì -|x-1|≤0 và -(2y-1)²≤0 nên -|x-1| - 2(2y-1)² + 100 ≤ 100. Vậy GTLN của B = 100 khi |x-1|=0 và (2y-1)²=0 khi x =1 và y = 1/2.

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) (x-2)² + 2019

b) (x-3)² + (y-2)² - 2018

c) -(3-x)¹⁰⁰ - 3(y+2)²⁰⁰ + 2020

d) (x+1)² + 100

e) (x²+3)² + 125

f) -(x-20)²⁰⁰ -2(y+5)¹⁰⁰ + 2019

* Hướng dẫn:

 a) GTNN: 2019 khi x = 2

 b) GTNN: -2018 khi x=3 và y=2

 c) GTLN: 2020 khi x=3 và y=-2

 d) GTNN: 100 khi x = -1

 e) GTNN: 134 khi x = 0

 f) GTLN: 2019 khi x=20 và y=-5.

• Dạng 4: Bài tập đơn thức (nhận biết, rút gọn, tìm bậc, hệ số của đơn thức)

* Phương pháp:

 - Nhận biết đơn thức: Trong biểu thức không có phép toán tổng hoặc hiệu

 - rút gọn đơn thức: 

Bước 1: Dùng quy tắc nhân đơn thức để thu gọn: nhân hệ số với nhau, biến với nhau

Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn (bậc là tổng số mũ của phần biến).

* Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có cùng phần biến nhưng khác nhau hệ số

Lưu ý: Để chứng minh các đơn thức cùng dương hoặc cùng âm, hoặc không thể cùng dương, cùng âm ta lấy tích của chúng rồi đánh giá kết quả.

+ Ví dụ 1: Sắp xếp các đơn thức sau theo nhóm các đơn thức đồng dạng: 3xy; 3xy²; -9xy; xy²; 2019xy;

* Hướng dẫn: Các nhóm đơn thức đồng dạng là: 3xy; -9xy; 2019xy; và 3xy²; xy²;

+ Ví dụ 2: Cho các đơn thức:A = -5xy; B = 11xy² ; C = x²y³

 a) Tìm hệ số và bậc của D = A.B.C

 b) Các đơn thức trên có thể cùng dương hay không?

* Hướng dẫn

a) D=-55.x⁴y⁶ hệ số là -55 bậc 10

b) D=-55.x⁴y⁶ ≤ 0 nên A,B,C không thể cùng dương.

Bài 1: Rút gọn đơn thức sau và tìm bậc, hệ số.

1) A = x²y.2xy³

2) B = -2xy²z.x²yz³

3) C = xy².yz

4) D=

5) E=

* Hướng dẫn

1) A = (-2/3).x³y⁴

2) B = (-3/2).x³y³z⁴

3) C = (-1/4).xy³z

4) D = 

5) E=

• Dạng 5: Bài tập đa thức (nhận biết, rút gọn, tìm bậc, hệ số, nhân chia đa thức)

* Phương pháp

 - Nhận biết đa thức: Trong biểu thức chứa phép toán tổng hiệu

 - Để nhân đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia

 - Để chia đa thức: ta phải vẽ cột chia đa thức

 - Rút gọn hay thu gọn đa thức:

Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Bước 2: Bậc của đa thức là bậc cao nhất của đơn thức

+ Ví dụ: Thu gọn đa thức sau và tìm bậc:

 A = 15x²y³ + 7x² - 8x³y² - 12x² + 11x³y² -12x²y³

* Hướng dẫn:

 A =15x²y³ - 12x²y³+ 7x² - 12x² + 11x³y² - 8x³y² = 3x²y³ - 5x² +3x³y² (A có bậc 5)

Bài 1: Tính tổng của 2 đa thức sau và tìm bậc của đa thức thu được

 1) 4x² - 5xy + 3y² và 3x² + 2xy - y²

 2) x³ - 2x²y + xy² - y⁴ + 1 và -x³ - x²y + xy² - y⁴ - 2.

* Hướng dẫn:

 1) 7x² - 3xy +2y² có bậc của đa thức là 2

 2) (-5/2)x²y +(4/3)xy² - 2y⁴ - 1 có bậc của đa thức là 4

Bài 2: Tìm đa thức M biết rằng:

 1) M + (5x² - 2xy) = 6x² + 9xy - y²

 2) M + (2x²y - 2xy³) = 2x²y - 4xy³

 3) (2xy² + x² - x²y) - M = -xy² + x²y +1

* Hướng dẫn:

 1) M = x² + 11xy - y²

 2) M = -2xy³

 3) M = 3xy² + x² - 2x²y -1 

 • xem thêm: Phương pháp học bài nhanh thuộc và nhớ lâu