Các dạng bài tập toán về đơn thức, đa thức và bài tập (chi tiết, dễ hiểu) Toán 7

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ lý thuyết căn bản, phân loại 5 dạng bài tập trọng tâm thường gặp nhất cùng phương pháp giải cực kỳ dễ hiểu.

A. Tóm Tắt Lý Thuyết Cốt Lõi

I. Lý thuyết về đơn thức

1. Đơn thức là gì?

Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

• Ví dụ: $2$, $-5$, $x$, $3xy^2$, $-\frac{1}{2}x^3y^2z$ đều là những đơn thức.

2. Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương và mỗi biến chỉ được viết đúng một lần.

• Hệ số: Phần số thực viết phía trước đơn thức.

• Phần biến: Phần ký tự chữ đi kèm số mũ viết phía sau hệ số (các biến thường được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái).

Các bước thu gọn một đơn thức:

• Bước 1: Xác định dấu duy nhất của đơn thức. Dấu sẽ là "$+$" nếu đơn thức không chứa dấu "$-$" hoặc chứa một số chẵn lần dấu "$-$". Dấu sẽ là "$-$" nếu đơn thức chứa một số lẻ lần dấu "$-$".

• Bước 2: Nhóm các thừa số là số (hoặc hằng số) lại với nhau và thực hiện phép nhân giữa chúng.

• Bước 3: Nhóm các phần biến giống nhau, sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái và dùng ký hiệu lũy thừa để viết gọn lại.

3. Bậc của đơn thức thu gọn

• Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

• Một số thực khác 0 được coi là đơn thức bậc 0.

• Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.

4. Phép nhân hai đơn thức

Muốn nhân hai đơn thức, ta thực hiện nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến tương ứng với nhau.

II. Lý thuyết về đa thức

1. Khái niệm đa thức

Đa thức là một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của hai hay nhiều đơn thức. Mỗi đơn thức xuất hiện trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức.

• Nhận xét: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức đặc biệt (đa thức chỉ có một hạng tử).

2. Thu gọn đa thức

Nếu trong đa thức chứa các hạng tử đồng dạng (các đơn thức có cùng phần biến), ta tiến hành thực hiện phép tính cộng trừ giữa chúng để thu được một đa thức thu gọn. Đa thức đã thu gọn là đa thức không còn chứa bất kỳ hai hạng tử nào đồng dạng với nhau.

3. Bậc của đa thức

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

B. Các Dạng Bài Tập Trọng Tâm Và Phương Pháp Giải

Dạng 1: Đọc và viết các biểu thức đại số từ lời văn

• Phương pháp giải: Ta đọc/viết các phép toán lớn trước (như tích, tổng, hiệu, thương), sau đó xử lý các thừa số hoặc số hạng thành phần bên trong.

• Mẹo nhớ: Biểu thức $x^2$ đọc là bình phương của $x$, biểu thức $x^3$ đọc là lập phương của $x$.

Bài tập 1: Viết biểu thức đại số tương ứng với các phát biểu sau:

1. Tổng các lập phương của $a$ và $b$.

2. Bình phương của tổng ba số $a, b, c$.

3. Tích của tổng hai số $a$ và $3$ với hiệu hai số $b$ và $3$.

4. Tích của tổng hai số $a$ và $b$ với hiệu các bình phương của hai số đó.

Lời giải:

1. $a^3 + b^3$

2. $(a + b + c)^2$

3. $(a + 3)(b - 3)$

4. $(a + b)(a^2 - b^2)$

Bài tập 2: Đọc các biểu thức đại số sau thành lời:

a) $5x^2$

b) $(x + 3)^2$

Lời giải:

• a) Tích của số $5$ với bình phương của biến $x$ (hoặc năm lần $x$ bình phương).

• b) Bình phương của tổng $x$ và $3$.

Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức đại số

• Phương pháp giải: * Bước 1: Thực hiện thu gọn biểu thức đại số (nếu biểu thức chưa ở dạng tối giản).

  • Bước 2: Thay các giá trị cho trước của biến vào biểu thức.

  • Bước 3: Thực hiện các phép tính số học để đưa ra kết quả cuối cùng.

• Một số hệ thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cần lưu ý:

  • $|a| = |b| \Rightarrow a = b$ hoặc $a = -b$.

  • $|a| = b$ (điều kiện $b \geq 0$) $\Rightarrow a = b$ hoặc $a = -b$.

  • Nếu $|a| + |b| = 0$ hoặc $|a| + |b| \leq 0$, điều này chỉ xảy ra khi đồng thời $a = 0$ và $b = 0$.

  • Tổng quát với lũy thừa chẵn: $|a| + b^{2o} \leq 0 \Leftrightarrow a = 0$ và $b = 0$.

Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = 3x^3y + 6x^2y^2 + 3xy^3$ với $x = -1$ và $y = 2$.

b) $B = x^2 + 5x - 1$ lần lượt tại các điểm $x = -2$ và $x = 1$.

Lời giải:

• a) Nhận thấy đa thức đã ở dạng thu gọn, thay trực tiếp $x = -1, y = 2$ vào biểu thức:

  $A = 3 \cdot (-1)^3 \cdot 2 + 6 \cdot (-1)^2 \cdot 2^2 + 3 \cdot (-1) \cdot 2^3$

  $A = -6 + 24 - 24$

  $A = -6$

  Vậy giá trị biểu thức tại điểm đã cho là $-6$.

• b) Thay giá trị điểm thứ nhất $x = -2$ vào biểu thức $B$:

  $B = (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 1 = 4 - 10 - 1 = -7$

  Thay giá trị điểm thứ hai $x = 1$ vào biểu thức $B$:

  $B = 1^2 + 5 \cdot 1 - 1 = 1 + 5 - 1 = 5$

Bài tập 1: Tính giá trị của các biểu thức đại số sau:

a) $-3x^2y + x^2y - xy^2 + 2$ với $x = -1$ và $y = 2$.

b) $xy + x^2y^2 + x^3y^3 + x^4y^4$ tại $x = 2$ và $y = -1$.

Lời giải:

• a) Thu gọn đa thức trước khi tính: $-2x^2y - xy^2 + 2$. Thay $x = -1, y = 2$ vào đa thức:

  $= -2 \cdot (-1)^2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2^2 + 2$

  $= -4 + 4 + 2$

  $= 2$

• b) Thay trực tiếp giá trị biến $x = 2, y = -1$ vào biểu thức, ta được tích các lũy thừa:

  $= 2 \cdot (-1) + 2^2 \cdot (-1)^2 + 2^3 \cdot (-1)^3 + 2^4 \cdot (-1)^4$

  $= -2 + 4 - 8 + 16$

  $= 10$

Bài tập 2: Cho các hàm đa thức sau:

a) $P(x) = x^4 + 2x^2 + 2$. Tính giá trị của $P(-1)$.

b) $Q(x) = x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x + 2$. Tính giá trị của $Q(1)$.

Lời giải:

• a) $P(-1) = (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$

• b) $Q(1) = 1^4 + 4 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 2 = 1 + 4 + 2 - 4 + 2 = 5$

Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức trong các trường hợp chứa điều kiện ràng buộc:

1. Tính $A = x^2 - 3x + 2$ biết rằng $|x - 2| = 1$.

2. Tính $B = 4xy - y^2$ biết rằng biểu thức sau thỏa mãn: $2|x - 1| + (y - 2)^2 \leq 0$.

Lời giải:

• 1) Từ điều kiện $|x - 2| = 1$, ta phân ra hai trường hợp giá trị biến ẩn:

  Trường hợp 1: $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$. Thay vào $A$: $A = 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 2$.

  Trường hợp 2: $x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1$. Thay vào $A$: $A = 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$.

• 2) Vì lý thuyết định nghĩa $|x - 1| \geq 0$ và $(y - 2)^2 \geq 0$ với mọi số thực, nên tổng của chúng chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi đồng thời hai số hạng bằng 0:

  $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

  $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$

  Thay cặp giá trị $x = 1, y = 2$ vào biểu thức $B$: $B = 4 \cdot 1 \cdot 2 - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Bài tập 4: Tính nhanh các giá trị biểu thức quy luật đặc biệt:

1. Tính $A = x^5 - 2019x^4 + 2019x^3 - 2019x^2 + 2019x - 2020$ tại giá trị điểm $x = 2018$.

2. Tính $B = 2x^5 + 3y^3$ biết rằng hệ thức sau thỏa mãn: $(x - 1)^{20} + (y - 2)^{30} = 0$.

Lời giải:

• 1) Với $x = 2018 \Rightarrow 2019 = x + 1$. Ta thay thế hằng số số học bằng biểu thức chứa biến:

  $A = x^5 - (x + 1)x^4 + (x + 1)x^3 - (x + 1)x^2 + (x + 1)x - 2020$

  $A = x^5 - x^5 - x^4 + x^4 + x^3 - x^3 - x^2 + x^2 + x - 2020$

  $A = x - 2020$

  Thay số thực $x = 2018$ vào đa thức thu gọn: $A = 2018 - 2020 = -2$.

• 2) Vì số mũ chẵn luôn không âm nên hệ thức xảy ra dấu bằng khi cả hai cơ số bằng 0:

  $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

  $y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$

  Thay cặp nghiệm vào biểu thức $B$: $B = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 2^3 = 2 + 24 = 26$.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)

• Phương pháp giải: Ta dựa vào tính chất không âm của bình phương một biểu thức hoặc giá trị tuyệt đối ($f^2(x) \geq 0$ hoặc $|f(x)| \geq 0$) để đưa biểu thức về dạng cấu trúc để đánh giá:

  • Dạng $f^2(x) + k \geq k \Rightarrow \text{GTNN} = k$, xảy ra khi $f(x) = 0$.

  • Dạng $k - f^2(x) \leq k \Rightarrow \text{GTLN} = k$, xảy ra khi $f(x) = 0$.

  • Đối với đa thức bậc hai dạng $ax^2 + bx + c$, ta áp dụng công thức ép hằng đẳng thức:

    $$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$$

Ví dụ minh họa: Tìm cực trị của các biểu thức sau:

1. Tìm GTNN của $A = (x - 1)^2 - 10$

2. Tìm GTLN của $B = -|x - 1| - 2(2y - 1)^2 + 100$

Lời giải:

1. Vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x \Rightarrow (x - 1)^2 - 10 \geq -10$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $-10$, đạt được khi $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2. Vì $-|x - 1| \leq 0$ và $-2(2y - 1)^2 \leq 0$ với mọi giá trị của biến số, nên tổng các số hạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng số tự do đứng cuối: $B \leq 100$. Vậy giá trị lớn nhất của $B$ bằng $100$, đạt được khi đồng thời: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ và $2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.

Bài tập tự luyện Dạng 3: Tìm cực trị (GTLN hoặc GTNN) của các biểu thức sau:

• a) $A = (x - 2)^2 + 2019$

• b) $B = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 - 2018$

• c) $C = -(3 - x)^{100} - 3(y + 2)^{200} + 2020$

• d) $D = (x + 1)^2 + 100$

• e) $E = (x^2 + 3)^2 + 125$

• f) $F = -(x - 20)^{200} - 2(y + 5)^{100} + 2019$

Đáp số hướng dẫn:

• a) $\text{GTNN} = 2019$ khi đạt giá trị $x = 2$.

• b) $\text{GTNN} = -2018$ khi đạt giá trị $x = 3$ và $y = 2$.

• c) $\text{GTLN} = 2020$ khi đạt giá trị $x = 3$ và $y = -2$.

• d) $\text{GTNN} = 100$ khi đạt giá trị $x = -1$.

• e) Do $x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 3 \geq 3 \Rightarrow (x^2 + 3)^2 \geq 9$. Suy ra $E \geq 9 + 125 = 134$. Vậy $\text{GTNN} = 134$ khi $x = 0$.

• f) $\text{GTLN} = 2019$ khi đạt giá trị $x = 20$ và $y = -5$.

Dạng 4: Chuyên đề về đơn thức (Thu gọn, tìm bậc, xác định hệ số)

• Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức để gom hệ số đi liền với hệ số, phần biến lũy thừa đi liền với biến lũy thừa cùng loại.

• Mẹo giải bài toán nâng cao: Để chứng minh một nhóm các đơn thức không thể cùng nhận giá trị dương hoặc cùng nhận giá trị âm, ta thực hiện tính tích tổng thể của tất cả các đơn thức đó rồi tiến hành đánh giá dấu của tích thu được.

Ví dụ 1: Sắp xếp các đơn thức sau theo từng nhóm đồng dạng:

Lời giải: Dựa vào định nghĩa phần biến chữ giống nhau hoàn toàn, ta phân chia làm hai nhóm đơn thức đồng dạng như sau:

• Nhóm 1: $3xy, \ -9xy, \ 2019xy$.

• Nhóm 2: $3xy^2, \ xy^2$.

Ví dụ 2: Cho ba đơn thức độc lập: $A = -5xy$; $B = 11xy^2$; $C = x^2y^3$.

a) Xác định hệ số và bậc của đơn thức tích $D = A \cdot B \cdot C$.

b) Hỏi ba đơn thức đã cho có thể cùng nhận giá trị dương được hay không?

Lời giải:

• a) Ta lập biểu thức tính tích:

  $D = (-5xy) \cdot (11xy^2) \cdot (x^2y^3) = [(-5) \cdot 11 \cdot 1] \cdot (x \cdot x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^2 \cdot y^3)$

  $D = -55x^4y^6$

  Đơn thức tích $D$ có phần hệ số tự do bằng $-55$ và tổng số mũ phần biến là $4 + 6 = 10$ (Đơn thức có bậc 10).

• b) Xét dấu của đơn thức tích: Do lũy thừa số mũ chẵn $x^4 \geq 0$ và $y^6 \geq 0$ với mọi giá trị của biến số nên tích $x^4y^6 \geq 0$. Kết hợp hệ số âm, ta có: $D = -55x^4y^6 \leq 0$.

  Vì tích của ba biểu thức luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 nên ba đơn thức trên hoàn toàn không thể cùng nhận giá trị dương.

Bài tập hành hành: Thực hiện rút gọn các đơn thức sau, xác định hệ số và tìm bậc:

1. $A = \frac{-1}{3}x^2y \cdot 2xy^3$

2. $B = -2xy^2z \cdot \frac{3}{4}x^2yz^3$

3. $C = \frac{1}{3}xy^2 \cdot \left(\frac{-3}{4}\right)yz$

4. $D = x^3 \cdot \left(-\frac{5}{4}x^2y\right) \cdot \left(-\frac{2}{5}x^3y^4\right)$

5. $E = \left(-\frac{3}{4}x^6y^4\right) \cdot \left(xy^2\right) \cdot \left(\frac{8}{9}x^2y^5\right)$

Lời giải thu gọn:

1. $A = -\frac{2}{3}x^3y^4$

   (Hệ số: $-\frac{2}{3}$, Bậc: 7)

2. $B = -\frac{3}{2}x^3y^3z^4$

   (Hệ số: $-\frac{3}{2}$, Bậc: 10)

3. $C = -\frac{1}{4}xy^3z$

   (Hệ số: $-\frac{1}{4}$, Bậc: 5)

4. $D = \frac{1}{2}x^9y^5$

   (Hệ số: $\frac{1}{2}$, Bậc: 14)

5. $E = -\frac{2}{3}x^9y^{11}$

   (Hệ số: $-\frac{2}{3}$, Bậc: 20)

Dạng 5: Chuyên đề về đa thức (Thu gọn và tìm bậc của đa thức tổng/hiệu)

• Phương pháp giải: * Rút gọn đa thức: Sử dụng tính chất nhóm giao hoán để đưa các đơn thức đồng dạng về gần nhau, thực hiện phép tính cộng trừ hệ số số thực và giữ nguyên phần ký tự biến.

  • Tìm bậc: Quan sát tất cả các hạng tử sau khi đa thức đã thu gọn hoàn toàn, bậc của đa thức chính là bậc cao nhất của hạng tử trong biểu thức đó.

Ví dụ minh họa: Thực hiện phép tính thu gọn và xác định bậc của đa thức sau:

Lời giải: Nhóm các cụm đơn thức chứa phần biến chữ giống nhau:

$A = (15x^2y^3 - 12x^2y^3) + (11x^3y^2 - 8x^3y^2) + (7x^2 - 12x^2)$

$A = 3x^2y^3 + 3x^3y^2 - 5x^2$

Hạng tử $3x^2y^3$ có bậc là $2+3=5$; hạng tử $3x^3y^2$ có bậc là $3+2=5$; hạng tử $-5x^2$ có bậc là $2$. Vậy bậc cao nhất của đa thức $A$ bằng 5.

Bài tập 1: Tính tổng của hai đa thức dưới đây và xác định bậc của đa thức thu được:

1. Tổng của hai đa thức $4x^2 - 5xy + 3y^2$ và $3x^2 + 2xy - y^2$.

2. Tổng của hai đa thức $x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^4 + 1$ và $-x^3 - x^2y + xy^2 - y^4 - 2$.

Lời giải:

1. Thực hiện phép cộng các số hạng đồng dạng tương ứng:

   $(4x^2 + 3x^2) + (-5xy + 2xy) + (3y^2 - y^2)$

   $= 7x^2 - 3xy + 2y^2$

   Đa thức tổng thu gọn có bậc lớn nhất bằng 2.

2. Thực hiện phép cộng kết hợp đổi dấu phá ngoặc đa thức:

   $(x^3 - x^3) + (-2x^2y - x^2y) + (xy^2 + xy^2) + (-y^4 - y^4) + (1 - 2)$

   $= -3x^2y + 2xy^2 - 2y^4 - 1$

   Đa thức tổng thu gọn thu được có bậc lớn nhất bằng 4 (do hạng tử $-2y^4$ có bậc 4).

Bài tập 2: Tìm biểu thức đa thức $M$ chưa biết, biết rằng:

1. $M + (5x^2 - 2xy) = 6x^2 + 9xy - y^2$

2. $M + (2x^2y - 2xy^3) = 2x^2y - 4xy^3$

3. $(2xy^2 + x^2 - x^2y) - M = -xy^2 + x^2y + 1$

Lời giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu biểu thức đại số để tìm ẩn $M$:

1. $M = (6x^2 + 9xy - y^2) - (5x^2 - 2xy)$

   $M = 6x^2 + 9xy - y^2 - 5x^2 + 2xy$

   $M = x^2 + 11xy - y^2$

2. $M = (2x^2y - 4xy^3) - (2x^2y - 2xy^3)$

   $M = 2x^2y - 4xy^3 - 2x^2y + 2xy^3$

   $M = -2xy^3$

3. $M = (2xy^2 + x^2 - x^2y) - (-xy^2 + x^2y + 1)$

   $M = 2xy^2 + x^2 - x^2y + xy^2 - x^2y - 1$

   $M = 3xy^2 + x^2 - 2x^2y - 1$