Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối - Toán 7 chuyên đề

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết trọng tâm, phân loại các dạng toán thường gặp cùng phương pháp giải chi tiết qua hệ thống ví dụ minh họa trực quan.

I. Cách tìm GTNN, GTLN Cần Nhớ

Để giải quyết các bài toán tìm cực trị (GTLN, GTNN) chứa dấu giá trị tuyệt đối, các em cần dựa vào hai dạng hằng đẳng thức/tính chất cốt lõi sau:

Dạng 1: Dựa vào tính chất không âm của trị tuyệt đối

Tính chất cơ bản nhất của giá trị tuyệt đối là: Với mọi số thực $x$, ta luôn có $|x| \geq 0$.

• Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN): Ta tìm cách biến đổi biểu thức $A$ về dạng:

  $$A \geq a \quad (\text{với } a \text{ là một hằng số đã biết})$$

  Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $A$ chính là $a$, dấu "=" xảy ra khi biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối bằng 0.

• Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN): Ta tìm cách biến đổi biểu thức $B$ về dạng:

  $$B \leq b \quad (\text{với } b \text{ là một hằng số đã biết})$$

  Khi đó, giá trị lớn nhất của $B$ chính là $b$, dấu "=" xảy ra khi biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối bằng 0.

Dạng 2: Phối hợp hai hoặc nhiều dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các biểu thức chứa tổng hoặc hiệu của nhiều cụm trị tuyệt đối, ta áp dụng bất đẳng thức tam giác. Với mọi số hữu tỉ $x, y \in \mathbb{Q}$, ta luôn có:

• Bất đẳng thức tổng:

  $$|x| + |y| \geq |x + y|$$

  (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x \cdot y \geq 0$)

• Bất đẳng thức hiệu:

  $$|x| - |y| \leq |x - y| \quad \text{hay} \quad |x - y| \geq |x| - |y|$$

II. Các Bài Tập Vận Dụng Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = |2x + 2022| + 5$

Lời giải:

Vì giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn luôn không âm với mọi $x$:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức với hằng số 5, ta được:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng 5.

Dấu "=" xảy ra khi biểu thức trong dấu trị tuyệt đối bằng 0:

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\min A = 5$ khi $x = -1011$.

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $B = 2022 - |5x + 15|$

Lời giải:

Với mọi giá trị của biến số $x$, ta luôn có:

Nhân cả hai vế với $-1$ để thực hiện đổi chiều bất đẳng thức:

Cộng cả hai vế với hằng số 2022, ta được:

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ bằng 2022.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\max B = 2022$ khi $x = -3$.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $C = |x - 10| + |x - 2022|$

Lời giải:

Áp dụng tính chất đối xứng của giá trị tuyệt đối $|a| = |-a|$, ta có:

Khi đó, biểu thức $C$ được viết lại thành:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|a| + |b| \geq |a + b|$ cho hai số hạng:

Thực hiện thu gọn biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối vế phải:

Dấu "=" xảy ra khi tích hai cơ số không âm:

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của $C$ là $\min C = 2012$ khi $10 \leq x \leq 2022$.

Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $D = |x + 2022| - |x - 2018|$

Lời giải:

Vận dụng bất đẳng thức hiệu giá trị tuyệt đối $|a| - |b| \leq |a - b|$, ta có:

Thực hiện phá ngoặc thu gọn biểu thức bên trong dấu trị tuyệt đối vế phải:

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $D$ là $\max D = 4040$.

Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = 2|3x - 5| - 1$

Lời giải:

Với mọi số thực $x$, ta luôn có:

Nhân cả hai vế với 2, bất đẳng thức không đổi chiều:

Trừ cả hai vế cho 1, ta được:

Dấu "=" xảy ra khi biểu thức trong dấu trị tuyệt đối bằng 0:

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ là $\min M = -1$ khi $x = \frac{5}{3}$.

Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $N = 7 + |3 - x|$

Lời giải:

Với mọi giá trị của biến số $x$, ta luôn có:

Cộng cả hai vế với hằng số 7, ta được:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N$ là $\min N = 7$ khi $x = 3$.

Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $K = 15 - 4|x - 3|$

Lời giải:

Với mọi giá trị của biến số $x$, ta luôn có:

Nhân cả hai vế với hệ số âm $-4$, bất đẳng thức thực hiện đổi chiều:

Cộng cả hai vế với hằng số 15, ta được:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $K$ là $\max K = 15$ khi $x = 3$.

Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $I = 9 - |3x - 2|$

Lời giải:

Với mọi giá trị của biến số $x$, ta luôn có:

Nhân cả hai vế với $-1$, bất đẳng thức đổi chiều:

Cộng cả hai vế với hằng số 9, ta được:

Dấu "=" xảy ra khi biểu thức trong dấu trị tuyệt đối bằng 0:

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $I$ là $\max I = 9$ khi $x = \frac{2}{3}$.

Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = |x + 5| + |x - 3| + 4$

Lời giải:

Áp dụng tính chất đối xứng của giá trị tuyệt đối $|x - 3| = |3 - x|$, ta viết lại biểu thức $P$:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|a| + |b| \geq |a + b|$ cho hai cụm trị tuyệt đối đầu tiên:

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với số tự do 4, ta thu được:

Dấu "=" xảy ra khi tích hai cơ số không âm: $(x + 5)(3 - x) \geq 0 \Rightarrow -5 \leq x \leq 3$.

Kết luận: Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\min P = 12$ khi $-5 \leq x \leq 3$.

Bài tập 10: Tìm giá trị của các biến $x$ và $y$ để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

Lời giải:

Ta tiến hành đánh giá từ phần mẫu số của phân thức:

Vì $|3x + 5| \geq 0$ với mọi $x$ và $|4y + 3| \geq 0$ với mọi $y$, nên ta có:

Cộng cả hai vế với hằng số 9:

Vì nghịch đảo của một bất đẳng thức luôn luôn đổi chiều (đối với các số dương), nên ta có:

Cộng cả hai vế với hằng số 5 để thu gọn biểu thức $Q$:

Dấu "=" xảy ra khi đồng thời hai biểu thức trị tuyệt đối ở mẫu bằng 0:

Kết luận: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $Q$ là $\max Q = \frac{20}{3}$ khi $x = -\frac{5}{3}$ và $y = -\frac{3}{4}$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập

Các em học sinh hãy áp dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân loại chuyên đề trên để thực hành giải các bài tập nâng cao dưới đây:

Bài tập 11: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức sau:

• a) $A = 2|5x - 3| - 1$

• b) $B = 5|3 - 4x| - 2$

• c) $C = 2x^2 + 5|y - 3| - 7$

Gợi ý đáp số bài 11: > * a) $\min A = -1$ khi $x = \frac{3}{5}$.

• b) $\min B = -2$ khi $x = \frac{3}{4}$.

• c) Do $2x^2 \geq 0$ và $5|y-3| \geq 0$ nên $\min C = -7$ khi $x = 0$ và $y = 3$.

Bài tập 12: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức sau:

• a) $A = 9 - |2x - 5|$

• b) $B = \frac{1}{|x - 3| + 5}$

Gợi ý đáp số bài 12: > * a) $\max A = 9$ khi $x = \frac{5}{2}$.

• b) Phân thức lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, mẫu nhỏ nhất bằng 5 khi $x = 3$. Vậy $\max B = \frac{1}{5}$ khi $x = 3$.