Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải và Bài tập Toán 7 (đầy đủ)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ các công thức cơ bản, phương pháp phá dấu trị tuyệt đối trong bất phương trình và cung cấp hệ thống bài tập vận dụng từ cơ bản đến nâng cao để các em tự tin chinh phục dạng toán này.

I. Phương Pháp Giải Các Dạng Bất Phương Trình Trị Tuyệt Đối Cơ Bản

Trong chương trình Toán lớp 7, chúng ta chủ yếu tập trung xử lý hai dạng cấu trúc bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cốt lõi dưới đây:

1. Bất đẳng thức trị tuyệt đối dạng $|f(x)| > a$ hoặc $|f(x)| \geq a$

Để giải dạng toán này, ta tiến hành quan sát và đánh giá hằng số $a$ ở vế phải:

• Nếu $a < 0$: Bất phương trình luôn luôn đúng với mọi giá trị của biến số $x$ (vì vế trái $|f(x)| \geq 0$ luôn lớn hơn một số âm).

• Nếu $a = 0$: Bất phương trình $|f(x)| > 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ thỏa mãn $f(x) \neq 0$ (vì giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn 0, trừ khi biểu thức bên trong bằng 0).

• Nếu $a > 0$: Biểu thức được phân tách thành hai nhánh độc lập để giải:

  $$\begin{matrix} f(x) > a \\ \text{hoặc} \\ f(x) < -a \end{matrix}$$

Lưu ý: Đối với bất phương trình chứa dấu "$\geq$", các em cũng thực hiện các bước xét điều kiện tương tự.

Ví dụ minh họa: Tìm giá trị $x$ thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

a) $|x - 3| > 9$

b) $|2x + 1| \geq 3$

c) $|3x + 2| > -7$

Lời giải chi tiết:

a) $|x - 3| > 9$

Vì vế phải $9 > 0$, ta chia bài toán thành hai nhánh riêng biệt:

Trường hợp 1:

$x - 3 > 9$

$x > 9 + 3$

$x > 12$

Trường hợp 2:

$x - 3 < -9$

$x < -9 + 3$

$x < -6$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $x < -6$ hoặc $x > 12$.

b) $|2x + 1| \geq 3$

Vì vế phải $3 > 0$, ta chia bài toán thành hai nhánh kèm dấu bằng:

Trường hợp 1:

$2x + 1 \geq 3$

$2x \geq 3 - 1$

$2x \geq 2$

$x \geq 1$

Trường hợp 2:

$2x + 1 \leq -3$

$2x \leq -3 - 1$

$2x \leq -4$

$x \leq -2$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $x \leq -2$ hoặc $x \geq 1$.

c) $|3x + 2| > -7$

Theo định nghĩa, giá trị tuyệt đối của một biểu thức bất kỳ luôn không âm với mọi số thực $x$:

$|3x + 2| \geq 0$

Vì số 0 hiển nhiên luôn lớn hơn số âm $-7$, nên bất phương trình $|3x + 2| > -7$ luôn luôn nghiệm đúng với mọi giá trị của $x$.

2. Bất đẳng thức trị tuyệt đối dạng $|f(x)| < a$ hoặc $|f(x)| \leq a$

Tương tự như dạng trên, ta tiến hành xét giá trị của hằng số $a$ vế phải:

• Nếu $a < 0$: Bất phương trình vô nghiệm (vì giá trị tuyệt đối không bao giờ nhỏ hơn một số âm).

• Nếu $a = 0$: Bất phương trình $|f(x)| < 0$ vô nghiệm; còn bất phương trình $|f(x)| \leq 0$ xảy ra khi và chỉ khi $f(x) = 0$.

• Nếu $a > 0$: Bất phương trình tương đương với hệ khoảng kẹp:

  $$-a < f(x) < a$$

Lưu ý: Đối với bất phương trình chứa dấu "$\leq$", các em cũng thực hiện các bước kẹp dấu tương tự: $-a \leq f(x) \leq a$.

Ví dụ minh họa: Tìm giá trị $x$ thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

a) $|x - 3| < 9$

b) $|2x + 1| \leq 3$

c) $|3x + 2| < -7$

Lời giải chi tiết:

a) $|x - 3| < 9$

Vì vế phải $9 > 0$, ta đưa biểu thức về dạng khoảng kẹp giữa hai đầu số đối:

$-9 < x - 3 < 9$

Thực hiện cộng thêm 3 vào tất cả các vế để cô lập biến $x$:

$-9 + 3 < x < 9 + 3$

$-6 < x < 12$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $-6 < x < 12$.

b) $|2x + 1| \leq 3$

Vì vế phải $3 > 0$, ta đưa biểu thức về dạng khoảng kẹp chứa dấu bằng:

$-3 \leq 2x + 1 \leq 3$

Thực hiện trừ đi 1 ở tất cả các vế:

$-3 - 1 \leq 2x \leq 3 - 1$

$-4 \leq 2x \leq 2$

Thực hiện chia tất cả các vế cho hằng số dương 2:

$-2 \leq x \leq 1$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $-2 \leq x \leq 1$.

c) $|3x + 2| < -7$

Do tính chất định nghĩa $|3x + 2| \geq 0$ luôn đúng với mọi số thực $x$, biểu thức vế trái không bao giờ nhận giá trị âm. Do đó, không tồn tại bất kỳ giá trị nào của $x$ để biểu thức nhỏ hơn số âm $-7$.

Kết luận: Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

II. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập (Học Sinh Tự Giải)

Các em học sinh hãy áp dụng các khoảng điều kiện xét dấu tương ứng của từng dạng toán ở trên để thực hành giải các bài tập chuyên đề tổng hợp dưới đây:

Bài tập 1: Tìm khoảng giá trị của số nguyên $x$ thỏa mãn:

• a) $|x - 2| < 6$

• b) $|3x - 2| \leq 7$

• c) $|-5x - 2| < 12$

Bài tập 2: Tìm khoảng giá trị của số nguyên $x$ thỏa mãn:

• a) $|2x - 3| > 15$

• b) $|5 - 3x| \geq 29$

• c)樣 $|-5x - 2| > 12$

III. Hướng Dẫn Giải Và Đáp Án Tham Khảo Chi Tiết

Để thuận tiện cho việc hiển thị mượt mà trên cả giao diện máy tính lẫn điện thoại di động mà không lo bị vỡ khung hình, phần đáp số dưới đây được trình bày dưới dạng văn bản và liệt kê chi tiết:

Hướng dẫn giải Bài tập 1

• Câu a: Bất phương trình $|x - 2| < 6$ có vế phải $6 > 0$. Ta đưa về dạng khoảng kẹp: $-6 < x - 2 < 6$. Cộng cả hai vế với 2 để cô lập biến, ta thu được kết quả: $-4 < x < 8$. Do bài toán yêu cầu tìm $x$ nguyên nên các giá trị thỏa mãn là $x \in \{-3; -2; -1; 0; 1; \dots; 7\}$.

• Câu b: Bất phương trình $|3x - 2| \leq 7$ tương đương với khoảng kẹp: $-7 \leq 3x - 2 \leq 7$. Cộng tất cả các vế với 2, ta được $-5 \leq 3x \leq 9$. Chia tiếp cho hằng số dương 3, ta thu được kết quả: $-\frac{5}{3} \leq x \leq 3$. Vì $x$ là số nguyên nên các giá trị thỏa mãn là $x \in \{-1; 0; 1; 2; 3\}$.

• Câu c: Áp dụng tính chất đối xứng $|a| = |-a|$, ta biến đổi bất phương trình $|-5x - 2| < 12$ về dạng thuận mắt hơn là $|5x + 2| < 12$. Từ đây đưa về dạng khoảng kẹp: $-12 < 5x + 2 < 12$. Trừ tất cả các vế cho 2, ta có $-14 < 5x < 10$. Chia tiếp cho 5, kết quả thu được là: $-\frac{14}{5} < x < 2$. Các giá trị nguyên thỏa mãn là $x \in \{-2; -1; 0; 1\}$.

Hướng dẫn giải Bài tập 2

• Câu a: Bất phương trình $|2x - 3| > 15$ có vế phải dương nên phân thành hai trường hợp giải độc lập. Trường hợp thứ nhất: $2x - 3 > 15 \Rightarrow 2x > 18 \Rightarrow x > 9$. Trường hợp thứ hai: $2x - 3 < -15 \Rightarrow 2x < -12 \Rightarrow x < -6$. Kết quả thu được là $x < -6$ hoặc $x > 9$.

• Câu b: Đổi dấu biểu thức trong trị tuyệt đối: $|3x - 5| \geq 29$. Phân bất phương trình thành hai trường hợp kèm dấu bằng. Trường hợp thứ nhất: $3x - 5 \geq 29 \Rightarrow 3x \geq 34 \Rightarrow x \geq \frac{34}{3}$ (tức là $x \geq 11,33$). Trường hợp thứ hai: $3x - 5 \leq -29 \Rightarrow 3x \leq -24 \Rightarrow x \leq -8$. Do đó, tập giá trị nguyên thỏa mãn là $x \leq -8$ hoặc $x \geq 12$.

• Câu c: Tương tự câu c bài 1, ta đưa bất phương trình về dạng $|5x + 2| > 12$ và chia làm hai trường hợp giải độc lập. Trường hợp thứ nhất: $5x + 2 > 12 \Rightarrow 5x > 10 \Rightarrow x > 2$. Trường hợp thứ hai: $5x + 2 < -12 \Rightarrow 5x < -14 \Rightarrow x < -\frac{14}{5}$ (tức là $x < -2,8$). Vậy khoảng giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x \leq -3$ hoặc $x > 2$.