Phép nhân, phép chia hai đa thức một biến, tính chất phép nhân đa thức? Toán 7 chân trời tập 2 chương 7 bài 4

Phép nhân, phép chia hai đa thức một biến, tính chất phép nhân đa thức như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Phép nhân đa thức một biến

• Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

* Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

a) 3x.(2x² – 4x + 5);

b) (2x + 3). (x + 1).

* Lời giải:

a) Ta có: 3x.(2x² – 4x + 5) = 3x. 2x² + 3x.(–4x) + 3x. 5

= 6x³ – 12x + 15x;

b) Ta có: (2x + 3). (x + 1) = 2x. (x + 1) + 3. (x + 1)

= 2x. x + 2x. 1 + 3. x + 3. 1

= 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x² + (2x + 3x) + 3

= 2x² + 5x + 3.

* Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x² + 5x – 6).

* Lời giải:

(4x – 3)(2x² + 5x – 6)

= 4x . (2x² + 5x – 6) + (–3) . (2x² + 5x – 6)

= 4x . 2x² + 4x . 5x + 4x . (–6) + (–3) . 2x² + (–3) . 5x + (–3) . (–6)

= 8x³ + 20x² – 24x – 6x² - 15x + 18

= 8x³ + (20x² – 6x²) + (–24x – 15x) + 18

= 8x³ + 14x² – 39x + 18

2. Phép chia đa thức một biến

• Trường hợp 1: Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

Cho hai đa thức P và Q (với Q ≠ 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q. M.

Ta gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Kí hiệu M = P : Q hoặc 

* Chú ý: Để thực hiện phép chia đa thức, người ta thường viết các đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia.

• Trường hợp 2: Chia đa thức cho đa thức (phép chia có dư)

Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B. Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

* Ví dụ 1: Thực hiện phép chia P(x) = 6x² + 4x cho Q(x) = 2x.

* Lời giải:

Thực hiện theo các bước như sau:

- Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức P(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 6x² : 2x = 3x.

Lấy P(x) trừ 3x . Q(x) ta được dư thứ nhất: 6x² + 4x – 3x . 2x = 6x² + 4x – 6x² = 4x

- Bước 2: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 4x : 2x = 2.

Lấy dư thứ nhất trừ đi 2 . Q(x) ta được dư thứ hai: 4x – 2 . 2x = 4x – 4x = 0.

Do dư bằng 0 nên dừng phép chia.

Vậy P(x) : Q(x) = 3x + 2.

3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

• Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

- Tính chất giao hoán: A. B = B. A;

- Tính chất kết hợp: A. (B. C) = (A. B). C.

* Ví dụ: Thực hiện phép tính:  . (x² + 1) . 5.

* Lời giải:

Ta có: . (x² + 1) . 5 = . [(x² + 1) . 5]

= . [5 . (x² + 1)] =.5. (x² + 1) = x² + 1.