Cách nhận biết tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch, ví dụ minh họa Toán 7 (cực hay)

Tuy nhiên, để nhận biết và kết luận chính xác hai đại lượng có tỉ lệ với nhau hay không trong các bài kiểm tra, các em học sinh cần dựa vào các công thức và tính chất số học cụ thể. Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn các em phương pháp nhận biết tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch qua bảng số liệu cực kỳ đơn giản và nhanh chóng.

I. Phương Pháp Nhận Biết Hai Đại Lượng Tỉ Lệ Thuận, Tỉ Lệ Nghịch

Khi đề bài cho một bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng $x$ và $y$, các em hãy thực hiện theo quy tắc kiểm tra sau:

• Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận: Tiến hành lập và tính các tỉ số $\frac{y}{x}$ (hoặc $\frac{x}{y}$) tại tất cả các cột. Nếu tất cả các cặp giá trị tương ứng đều cho cùng một kết quả hằng số không đổi $k$, ta kết luận $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

• Nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch: Tiến hành tính tích số $x \cdot y$ tại tất cả các cột. Nếu tất cả các tích số tương ứng của các cặp giá trị đều cho cùng một kết quả hằng số không đổi $a$, ta kết luận $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận qua bảng giá trị

Cho hai đại lượng $x$ và $y$ có các giá trị tương ứng được mô tả trong hai bảng dưới đây. Hỏi trong mỗi trường hợp, $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận với nhau không?

• Bảng 1:

• Bảng 2:

Lời giải:

• Xét số liệu tại Bảng 1: Ta thực hiện lập tỉ số $\frac{x}{y}$ ứng với từng cột giá trị tương ứng trên bảng:

  $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_2}{y_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_3}{y_3} = \frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_4}{y_4} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_5}{y_5} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_6}{y_6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

  Nhận thấy tất cả các tỉ số đều bằng nhau:

  $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_6}{y_6} = \frac{1}{2}$$

  Vì tỉ số giữa các giá trị tương ứng luôn không đổi nên $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

• Xét số liệu tại Bảng 2: Ta thực hiện lập tỉ số $\frac{x}{y}$ ứng với hai cặp giá trị đầu tiên:

  $$\frac{x_1}{y_1} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$
  $$\frac{x_2}{y_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$$

  Nhận thấy $-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2}$ nên ta có hệ thức:

  $$\frac{x_1}{y_1} \neq \frac{x_2}{y_2}$$

  Do tồn tại tỉ số giữa các giá trị tương ứng bị thay đổi nên $x$ và $y$ không phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

Ví dụ 2: Nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch qua bảng giá trị

Cho hai đại lượng $x$ và $y$ có các giá trị tương ứng được mô tả trong hai bảng dưới đây. Hỏi trong mỗi trường hợp, $x$ và $y$ có tỉ lệ nghịch với nhau không?

• Bảng 1:

• Bảng 2:

Lời giải:

• Xét số liệu tại Bảng 1: Ta thực hiện tính tích số $x \cdot y$ tương ứng của hai cột giá trị đầu tiên trên bảng:

  $$x_1 \cdot y_1 = 4 \cdot 9 = 36$$
  $$x_2 \cdot y_2 = 8 \cdot 4 = 32$$

  Nhận thấy tích của hai cặp giá trị này khác nhau ($36 \neq 32$):

  $$x_1 \cdot y_1 \neq x_2 \cdot y_2$$

  Do tích các giá trị tương ứng thay đổi nên $x$ và $y$ không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

• Xét số liệu tại Bảng 2: Ta lần lượt thực hiện tính tích số $x \cdot y$ tương ứng của tất cả các cột trên bảng:

  $$x_1 \cdot y_1 = 4 \cdot 6 = 24$$
  $$x_2 \cdot y_2 = (-2) \cdot (-12) = 24$$
  $$x_3 \cdot y_3 = 8 \cdot 3 = 24$$
  $$x_4 \cdot y_4 = 1 \cdot 24 = 24$$
  $$x_5 \cdot y_5 = 12 \cdot 2 = 24$$
  $$x_6 \cdot y_6 = 6 \cdot 4 = 24$$

  Nhận thấy tất cả các tích số đều bằng nhau:

  $$x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = \dots = x_6 \cdot y_6 = 24$$

  Vì tích giữa các giá trị tương ứng luôn là một hằng số không đổi nên $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ 3: Bài toán tổng hợp xét quan hệ tỉ lệ

Hai đại lượng $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận với nhau không nếu bảng giá trị tương ứng của chúng cho dưới dạng sau:

• a) Bảng số liệu 1:

• b) Bảng số liệu 2:

Lời giải:

• a) Đối với Bảng số liệu 1: Ta thực hiện lập chuỗi tỉ số $\frac{x}{y}$ giữa các vạch giá trị:

  $$\frac{x}{y} = \frac{1}{9} = \frac{2}{18} = \frac{3}{27} = \frac{4}{36} = \frac{5}{45}$$

  Biến đổi thu gọn công thức hệ thức mối liên hệ:

  $$y = 9x$$

  Vì đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức dạng $y = kx$ (với hằng số $k = 9$), nên $y$ tỉ lệ thuận với $x$.

• b) Đối với Bảng số liệu 2: Ta thực hiện lấy ngẫu nhiên hai tỉ số $\frac{x}{y}$ ở cột thứ tư và cột thứ năm để kiểm tra:

  $$\frac{x_4}{y_4} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$$
  $$\frac{x_5}{y_5} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$$

  Nhận thấy hai kết quả phân số thu được hoàn toàn khác nhau:

  $$\frac{1}{12} \neq \frac{1}{10} \quad \text{hay} \quad \frac{x_4}{y_4} \neq \frac{x_5}{y_5}$$

  Do hệ chuỗi tỉ số bị thay đổi nên đại lượng $x$ và $y$ ở bảng 2 không tỉ lệ thuận với nhau.