Tìm các ẩn số x, y chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau Cách giải và Bài tập Toán 7 (cực hay)

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ phương pháp giải toán cốt lõi, đi kèm hệ thống ví dụ minh họa trực quan và các bài tập thực hành từ cơ bản đến nâng cao.

I. Phương Pháp Tìm Ẩn Số Trong Dãy Tỉ Số Bằng Nhau

Để tìm các ẩn số chưa biết khi đề bài cho một chuỗi các tỉ số bằng nhau, chúng ta có thể áp dụng linh hoạt một trong các kỹ thuật biến đổi đại số sau:

• Phương pháp 1: Biến đổi đưa các tỉ số rời rạc về chung một dãy đồng nhất dạng:

  $$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$$

• Phương pháp 2: Vận dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để cộng hoặc trừ tử thức và mẫu thức tương ứng, kết hợp với điều kiện tổng hoặc hiệu đề bài cho để tìm ra hằng số chung.

• Phương pháp 3 (Phương pháp thế): Thực hiện rút một ẩn từ biểu thức ràng buộc này (ví dụ rút $x$ theo $y$) để thế vào biểu thức còn lại, đưa phương trình về dạng một ẩn số duy nhất.

• Phương pháp 4 (Đặt ẩn phụ $k$): Đặt dãy tỉ số bằng một hằng số $k$:

  $$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = k \Rightarrow x = k \cdot a; \ y = k \cdot b$$

  Sau đó thay các đại lượng này vào biểu thức tích hoặc lũy thừa kèm theo để giải tìm $k$.

II. Các Bài Tập Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Bài tập 1: Tìm hai ẩn số khi biết tổng

Tìm hai số hữu tỉ $x$ và $y$, biết:

Lời giải chi tiết:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho biểu thức trên:

Thay giá trị tổng $x + y = 16$ vào biểu thức:

Từ giá trị hằng số chung tìm được, ta tiến hành cô lập tính từng ẩn số:

• Với $\frac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot 3 = 6$

• Với $\frac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 2 \cdot 5 = 10$

Kết luận: Vậy hai giá trị cần tìm là $x = 6$ và $y = 10$.

Bài tập 2: Tìm hai ẩn số khi biết hiệu

Tìm hai số hữu tỉ $x$ và $y$, biết:

Lời giải chi tiết:

Lưu ý từ Hay Học Hỏi: Khi đưa phương trình từ dạng phép chia về dạng phân số, các em cần chú ý đặt đúng vị trí hệ số mẫu để tránh nhầm lẫn dấu toán học.

Biến đổi phương trình về dạng tỉ lệ thức chuẩn:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho biểu thức trên:

Thay giá trị hiệu $x - y = -7$ vào phương trình vế:

Từ giá trị hằng số chung tìm được, ta lần lượt tính giá trị của $x$ và $y$:

• Với $\frac{x}{2} = -1 \Rightarrow x = (-1) \cdot 2 = -2$

• Với $\frac{y}{-5} = -1 \Rightarrow y = (-1) \cdot (-5) = 5$

Kết luận: Vậy hai giá trị cần tìm là $x = -2$ và $y = 5$.

Bài tập 3: Giải bài toán đố hình học thực tế

Tìm diện tích của một mảnh đất hình chữ nhật biết rằng tỉ số giữa hai cạnh của nó bằng $\frac{2}{5}$ và tổng chu vi đo được bằng $28\text{ m}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật cần tìm (điều kiện: $x, y > 0$, đơn vị tính bằng mét).

Vì chu vi hình chữ nhật bằng $28\text{ m}$ nên nửa chu vi (tổng chiều dài và chiều rộng) là:

Theo dữ kiện đề bài, tỉ số giữa hai cạnh là $\frac{2}{5}$, ta lập được tỉ lệ thức:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho chuỗi số trên:

Thay giá trị tổng $x + y = 14$ vào phương trình:

Tính độ dài kích thước các cạnh của mảnh đất:

• Chiều rộng: $\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\text{ m}$

• Chiều dài: $\frac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10\text{ m}$

Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là:

Kết luận: Chiều rộng mảnh đất là $4\text{ m}$, chiều dài là $10\text{ m}$ và diện tích đạt $40\text{ m}^2$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập (Học Sinh Tự Giải)

Các em học sinh hãy áp dụng các phương pháp đại số vừa học để tự thực hành giải các bài toán chuyên đề hệ thống dưới đây:

• Bài tập 4: Tìm các ẩn số $x, y$ thỏa mãn các hệ thức sau:

  • a) $\frac{2x}{3y} = \frac{-1}{3}$ và có điều kiện tổng $2x + 3y = 7$

  • b) $\frac{x}{5} = \frac{y}{3}$ và có hiệu bình phương $x^2 - y^2 = 4$ (với điều kiện ẩn dương $x, y > 0$)

• Bài tập 5: Tìm bộ ba ẩn số $x, y, z$ biết:

  • a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$; \ $\frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ và thỏa mãn tổng $x + y + z = 92$

  • b) $2x = 3y = 5z$ và thỏa mãn hệ thức tổng hiệu $x + y - z = 95$

• Bài tập 6 (Nâng cao): Tìm bộ ba số $x, y, z$ thỏa mãn dãy tỉ số phức tạp sau:

  $$\frac{x}{y+z+1} = \frac{y}{x+z+1} = \frac{z}{x+y-2} = x + y + z$$

• Bài tập 7: Theo hợp đồng kinh tế, hai tổ sản xuất chấp nhận chia lãi với nhau theo tỷ lệ thuận là $3 : 5$. Hỏi mỗi tổ sẽ nhận được bao nhiêu tiền mặt nếu biết tổng số tiền lãi thu về đạt $12.800.000$ đồng?

• Bài tập 8: Hãy tính độ dài các cạnh của một hình tam giác biết tổng chu vi của nó đo được bằng $22\text{ cm}$ và độ dài ba cạnh tỉ lệ thuận với chuỗi số $2; 4; 5$.

IV. Hướng Dẫn Biến Đổi Và Đáp Án Tham Khảo Chi Tiết

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 4

• Câu a: Biến đổi tỉ lệ thức ban đầu về dạng đồng nhất phần tử: $\frac{2x}{-1} = \frac{3y}{3}$. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\frac{2x}{-1} = \frac{3y}{3} = \frac{2x + 3y}{-1 + 3} = \frac{7}{2}$. Từ đó giải ra được hệ giá trị: $2x = -\frac{7}{2} \Rightarrow x = -\frac{7}{4}$; và $3y = 3 \cdot \frac{7}{2} \Rightarrow y = \frac{7}{2}$.

  Đáp số: $x = -\frac{7}{4}$ và $y = \frac{7}{2}$.

• Câu b: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ nâng lũy thừa chẵn. Đặt $\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = k \Rightarrow x = 5k, y = 3k$. Thay vào hệ thức hiệu bình phương: $(5k)^2 - (3k)^2 = 4 \Rightarrow 25k^2 - 9k^2 = 4 \Rightarrow 16k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{4}$. Do điều kiện đề bài chặn ẩn dương $x, y > 0$ nên ta chọn giá trị hằng số dương $k = \frac{1}{2}$. Tính toán ra ẩn: $x = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ và $y = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

  Đáp số: $x = \frac{5}{2}$ và $y = \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 5

• Câu a: Ta thực hiện quy đồng ẩn trung gian $y$ ở mẫu số để đưa hai tỉ lệ thức về một chuỗi liên tục. Từ $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} \Rightarrow \frac{x}{10} = \frac{y}{15}$. Từ $\frac{y}{5} = \frac{z}{7} \Rightarrow \frac{y}{15} = \frac{z}{21}$. Ta thiết lập được dãy tỉ số đồng nhất: $\frac{x}{10} = \frac{y}{15} = \frac{z}{21} = \frac{x+y+z}{10+15+21} = \frac{92}{46} = 2$.

  Đáp số: $x = 20, \ y = 30, \ z = 42$.

• Câu b: Tìm bội chung nhỏ nhất của các hệ số $2, 3, 5$ là $30$. Thực hiện chia đồng loạt các vế cho $30$ để đưa phương trình tích về phương trình phân số: $\frac{2x}{30} = \frac{3y}{30} = \frac{5z}{30} \Rightarrow \frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{6}$. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{x}{15} = \frac{y}{10} = \frac{z}{6} = \frac{x+y-z}{15+10-6} = \frac{95}{19} = 5$.

  Đáp số: $x = 75, \ y = 50, \ z = 30$.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 6 (Nâng cao)

• Trường hợp 1: Xét tổng ba ẩn số khác 0 ($x + y + z \neq 0$). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau bằng cách cộng tất cả tử số và mẫu số tương ứng:

  $\frac{x+y+z}{(y+z+1) + (x+z+1) + (x+y-2)} = \frac{x+y+z}{2x+2y+2z} = \frac{x+y+z}{2(x+y+z)} = \frac{1}{2}$.

  Theo đề bài, giá trị chuỗi tỉ số này bằng đúng tổng $x+y+z$, do đó ta có hệ thức: $x + y + z = \frac{1}{2}$.

  Thay kết quả tổng vào mẫu thức thứ nhất: $\frac{x}{(x+y+z) - x + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{\frac{1}{2} - x + 1} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{\frac{3}{2} - x} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \frac{3}{2} - x \Rightarrow 3x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Biến đổi tương tự cho hai phân thức còn lại, ta tìm được giá trị các ẩn: $y = \frac{1}{2}$ và $z = -\frac{1}{2}$.

• Trường hợp 2: Xét tổng ba ẩn số bằng 0 ($x + y + z = 0$). Khi đó, giá trị của chuỗi tỉ số bằng 0. Suy ra lần lượt các tử số phải bằng 0: $x = 0, \ y = 0, \ z = 0$. Thay bộ ba số $(0; 0; 0)$ vào mẫu thức để kiểm tra, mẫu thức cuối cùng bằng $0 + 0 - 2 = -2 \neq 0$ (hoàn toàn thỏa mãn).

  Đáp số: Bài toán nâng cao có hai bộ nghiệm thỏa mãn là $(x,y,z) = \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ hoặc $(x,y,z) = (0; 0; 0)$.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 7

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tiền lãi được chia của hai tổ sản xuất (điều kiện: $x, y > 0$, đơn vị tính bằng đồng). Theo đề bài, số tiền lãi tỉ lệ với các số 3 và 5 nên ta có chuỗi tỉ số: $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$. Tổng số tiền lãi thu về bằng $12.800.000$ đồng nên $x + y = 12.800.000$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{x+y}{3+5} = \frac{12.800.000}{8} = 1.600.000$. Tính tiền lãi mỗi tổ: $x = 1.600.000 \cdot 3 = 4.800.000$ đồng; $y = 1.600.000 \cdot 5 = 8.000.000$ đồng.

Đáp số: Số tiền lãi của tổ thứ nhất là $4.800.000$ đồng và tổ thứ hai là $8.000.000$ đồng.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 8

Gọi $x, y, z$ lần lượt là độ dài ba cạnh của hình tam giác cần tìm (đi kiện: $x, y, z > 0$, đơn vị tính bằng cm). Vì độ dài các cạnh tỉ lệ thuận với các số $2; 4; 5$ nên ta lập được dãy tỉ số: $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$. Tổng chu vi của tam giác bằng $22\text{ cm}$ nên $x + y + z = 22$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{x+y+z}{2+4+5} = \frac{22}{11} = 2$. Tính độ dài từng cạnh: $x = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}; \ y = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}; \ z = 2 \cdot 5 = 10\text{ cm}$.

Đáp số: Độ dài ba cạnh tam giác lần lượt là $4\text{ cm}, \ 8\text{ cm}$ và $10\text{ cm}$.