Tìm x để biểu thức nguyên, cách giải và bài tập vận dụng - Toán lớp 7 chuyên đề

Bài này sẽ hướng dẫn các em cách giải dạng toán: Tìm x để biểu thức nguyên, qua đó vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để các em dễ hiểu hơn.

I. Cách giải bài toán: Tìm x để biểu thức nguyên

• Để tìm x để biểu thức nguyên ta cần thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x (phân số thì mẫu số phải khác 0).

+ Bước 2: Nhận biết dạng bài toán để có cách giải tương ứng

- Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.

- Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.

- Với các bài toán tìm đồng thời x, y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y đưa về dạng phân thức.

+ Bước 3: Áp dụng các tính chất để giải quyết bài toán tìm ra đáp án.

II. Bài tập Tìm x để biểu thức nguyên

* Bài tập 1: Tìm x để biểu thức A nhận giá trị nguyên: 

> Lời giải:

- Điều kiện: x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

- Để A nguyên thì 3 chia hết cho (x - 1) hay (x - 1) là ước của 3

tức là: (x - 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Với: x - 1 = -3 ⇒ x = -2

 x - 1 = -1 ⇒ x = 0

 x - 1 = 1 ⇒ x = 2

 x - 1 = 3 ⇒ x = 4

Hoặc ta có thể lập bảng như sau:

Các giá trị của x đề thỏa, vậy ta kết luận:

Để A nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}

* Bài tập 2: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 

* Lời giải:

- Điều kiện: x ≠ 1

+) Cách 1: Bài toán dạng phân thức tử số chứa biến x, nên ta có thể tách tử số theo mẫu số như sau:

Để B nguyên thì  là số nguyên hay 3 chia hết cho (x - 1) hay (x - 1) là ước của 3, tức là: (x - 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}.

Theo bài tập 1, ta có:

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}

+) Cách 2: Dùng dấu hiệu chia hết, các bước làm:

i) Tìm điều kiện.

ii) Tử  mẫu và Mẫu  mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, một hiệu.

Ta có: (x - 1)    (x - 1) nên 2(x - 1)    (x - 1)  (*)

Để B nguyên thì (2x + 1)    (x - 1)  (**)

Từ (*) và (**) suy ra:  (2x + 1) - 2(x - 1)    (x - 1)

⇔ 3  (x - 1) suy ra (x - 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

* Bài tập 3: Tim x để biểu thức C nhận giá trị nguyên: 

> Lời giải:

- Điều kiện: 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1/2 (x ∈ Z)

- Ta có: 

Hay (6x + 4) - (6x + 3)  (2x + 1) ⇒ 1  (2x + 1)

⇒ (2x + 1) ∈ Ư(1) = {-1; 1}

Với 2x + 1 = -1 ⇒ x = -1 (thỏa)

Với 2x + 1 = 1 ⇒ x = 0 (thỏa)

Vậy với x = 0 (khi đó C = 2) hoặc x = -1 (khi đó C = 1) thì biểu thức C nhận giá trị nguyên.

* Bài tập 4: Tim x để biểu thức D nhận giá trị nguyên:

> Lời giải:

- Nhận xét: Ta thấy tử số và mẫu số của D có chứa x, mà hệ số trước x ở tử là 6 lại chia hết cho hệ số trước x ở mẫu là 2, nên ta dùng phương pháp tách tử số thành bội của mẫu số để giải bài này.

- Điều kiện: 2x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 (x ∈ Z)

- Ta có:  

Như vậy để D nguyên thì  nguyên

Suy ra: 1 chia hết cho (3x + 2) hay (3x + 2) ∈ Ư(1) = {-1; 1}

Với 3x + 2 =  -1 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1 (thỏa)

Với 3x + 2 =  1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3 ∉ Z (loại)

Vậy với x = -1 (khi đó D = 1) thì D nhận giá trị nguyên.

• Tìm giá trị nguyên với biểu thức dạng: ax + bxy + cy = d ta làm như sau:

+ Bước 1: Nhóm các hạng tử xy với x (hoặc y)

+ Bước 2: Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử còn lại theo hạng tử trong ngoặc để đưa về dạng tích.

* Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 3y - 3x = -1

> Lời giải:

- Ta có: y(x + 3) - 3x + 1 = 0 [Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y]

⇔ y(x + 3) - 3(x + 3) + 10 = 0 [phân tích -3x + 1 = -3x - 9 + 10=-3(x + 3) +10]

⇔ (x + 3)(y - 3) = -10

Như vậy có các khả năng xảy ra sau:

 (x + 3) = 1 thì (y - 3) = -10 ⇒ x = -2 và y = -7

 (x + 3) = -1 thì (y - 3) = 10 ⇒ x = -4 và y = 13

 (x + 3) = -10 thì (y - 3) = 1 ⇒ x = -13 và y = 4

 (x + 3) = 10 thì (y - 3) = -1 ⇒ x = 7 và y = 2

 (x + 3) = 2 thì (y - 3) = -5 ⇒ x = -1 và y = -2

 (x + 3) = -2 thì (y - 3) = 5 ⇒ x = -5 và y = 8

 (x + 3) = 5 thì (y - 3) = -2 ⇒ x = 2 và y = 1

 (x + 3) = -5 thì (y - 3) = 2 ⇒ x = -8 và y = 5

Ta có thể lập bảng dễ tính hơn khi x, y có nhiều giá trị.