Tìm x để biểu thức nguyên, cách giải và bài tập vận dụng - Toán lớp 7 chuyên đề

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn các em chi tiết cách nhận diện phân loại bài toán, phương pháp giải cụ thể cho từng dạng biểu thức kèm theo hệ thống bài tập minh họa mạch lạc, dễ hiểu nhất.

I. Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm x Để Biểu Thức Nguyên

Để giải quyết dạng toán này, các em cần thực hiện nghiêm túc theo 3 bước cốt lõi sau đây:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Đối với biểu thức dạng phân thức (phân số chứa biến), điều kiện tiên quyết là mẫu thức phải khác $0$.

• Bước 2: Nhận biết dạng cấu trúc của biểu thức * Dạng tử số là hằng số (không chứa $x$): Áp dụng trực tiếp định nghĩa phép chia hết và ước số.

  • Dạng tử số có chứa biến $x$: Ta dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số (chia đa thức) để đưa phần biến về dạng số tự do.

  • Dạng hai ẩn số nguyên ($x$ và $y$): Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung đưa về dạng phương trình tích tổng quát.

  • Dạng tổng phân thức các ẩn nghịch đảo: Thực hiện quy đồng khử mẫu để đưa về dạng bài toán hai ẩn số nguyên.

• Bước 3: Thực hiện tính toán và đối chiếu điều kiện Áp dụng các tính chất chia hết của tập hợp số nguyên để tìm ra đáp án. Cuối cùng, bắt buộc phải đối chiếu với ĐKXĐ ban đầu và điều kiện tập hợp số (ví dụ $x \in \mathbb{Z}$) trước khi đưa ra kết luận.

II. Hệ Thống Bài Tập Minh Họa Chi Tiết

Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên:

Lời giải:

Điều kiện xác định:

Để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên thì hằng số 3 phải chia hết cho đa thức mẫu $(x - 1)$. Điều này đồng nghĩa với việc $(x - 1)$ phải là ước nguyên của 3:

Ta lập bảng giá trị tương ứng để tìm ẩn số $x$:

Đối chiếu với điều kiện xác định $x \neq 1$, ta thấy cả 4 giá trị của $x$ đều thỏa mãn.

Kết luận: Để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \{-2; 0; 2; 4\}$.

Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên $x$ để biểu thức $B$ nhận giá trị nguyên:

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x \neq 1$.

Cách 1: Phương pháp tách tử số theo mẫu số (Khuyên dùng)

Ta thực hiện biến đổi tử số để làm xuất hiện đại lượng là bội của mẫu số:

Để biểu thức $B$ nhận giá trị nguyên thì phần phân thức $\frac{3}{x - 1}$ phải nhận giá trị nguyên. Bài toán quay trở về dạng của Bài tập 1, tức là $(x - 1)$ phải là ước nguyên của 3:

Ta có bảng giá trị sau:

Đối chiếu điều kiện $x \neq 1$, ta thấy các giá trị đều thỏa mãn.

Kết luận: Để biểu thức $B$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \{-2; 0; 2; 4\}$.

Cách 2: Sử dụng dấu hiệu chia hết của một hiệu đại số

Ta có tính chất hiển nhiên: $(x - 1)$ luôn chia hết cho $(x - 1)$, do đó tích sau cũng chia hết:

Để biểu thức $B$ nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số:

Từ $(*)$ và $()$, áp dụng tính chất chia hết của một hiệu, ta có:

Suy ra $(x - 1) \in \text{Ư}(3) = \{-3; -1; 1; 3\}$. Tiến hành lập bảng tương tự Cách 1, ta thu được kết quả giống nhau.

Bài tập 3: Tìm giá trị nguyên $x$ để biểu thức $C$ nhận giá trị nguyên:

Lời giải:

Điều kiện xác định:

(Vì bài toán yêu cầu tìm giá trị nguyên $x$ nên điều kiện này luôn thỏa mãn).

Để biểu thức $C$ nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số:

Đồng thời, ta luôn có:

Để triệt tiêu phần biến số $x$ khi thực hiện phép trừ, ta tiến hành nhân thêm hệ số vào cả hai vế:

Lấy biểu thức thứ nhất trừ đi biểu thức thứ hai, ta có:

Suy ra $(2x + 1)$ phải là ước nguyên của 1:

Ta phân thành hai trường hợp giá trị:

• Trường hợp 1:

  $$2x + 1 = -1$$
  $$2x = -2$$
  $$x = -1 \quad (\text{Thỏa mãn } x \in \mathbb{Z})$$

• Trường hợp 2:

  $$2x + 1 = 1$$
  $$2x = 0$$
  $$x = 0 \quad (\text{Thỏa mãn } x \in \mathbb{Z})$$

Kết luận: Vậy với $x = 0$ (khi đó $C = 2$) hoặc $x = -1$ (khi đó $C = 1$) thì biểu thức $C$ nhận giá trị nguyên.

Bài tập 4: Tìm giá trị nguyên $x$ để biểu thức $D$ nhận giá trị nguyên:

Lời giải:

Điều kiện xác định: $3x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{3}$ (luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{Z}$).

Nhận thấy hệ số trước biến $x$ ở tử số (là 6) chia hết cho hệ số trước $x$ ở mẫu số (là 3). Ta sử dụng phương pháp tách nhanh tử thức theo mẫu thức:

Để biểu thức $D$ nhận giá trị nguyên thì phân số $\frac{1}{3x+2}$ phải là số nguyên, nghĩa là hằng số 1 chia hết cho đa thức mẫu $(3x + 2)$:

Ta xét các trường hợp:

• Với $3x + 2 = -1 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$ (Thỏa mãn thuộc $\mathbb{Z}$).

• Với $3x + 2 = 1 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$ (Loại vì không thuộc tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$).

Kết luận: Vậy với $x = -1$ (khi đó $D = 1$) thì biểu thức $D$ đạt giá trị nguyên.

Dạng toán mở rộng 1: Tìm các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình dạng $ax + bxy + cy = d$

• Phương pháp giải: Ta tiến hành nhóm hạng tử chứa tích kép $xy$ với một hạng tử đơn biến, đặt nhân tử chung để ép biểu thức về cấu trúc phương trình tích tổng quát dạng đại số: $(A \cdot x + B)(C \cdot y + D) = k$.

• Ví dụ: Tìm tất cả các cặp số chi tiết $x, y$ nguyên sao cho:

  $$xy + 3y - 3x = -1$$

Lời giải:

Nhóm hai hạng tử đầu tiên và đặt biến $y$ làm nhân tử chung:

Thêm bớt hằng số ở hai vế để xuất hiện cụm đại số $(x + 3)$ đồng dạng:

Vì $x$ và $y$ là các số nguyên nên đa thức $(x + 3)$ và $(y - 3)$ phải là ước nguyên của $-10$.

Vậy ta có như sau:

 (x + 3) = 1 thì (y - 3) = -10 ⇒ x = -2 và y = -7

 (x + 3) = -1 thì (y - 3) = 10 ⇒ x = -4 và y = 13

 (x + 3) = -10 thì (y - 3) = 1 ⇒ x = -13 và y = 4

 (x + 3) = 10 thì (y - 3) = -1 ⇒ x = 7 và y = 2

 (x + 3) = 2 thì (y - 3) = -5 ⇒ x = -1 và y = -2

 (x + 3) = -2 thì (y - 3) = 5 ⇒ x = -5 và y = 8

 (x + 3) = 5 thì (y - 3) = -2 ⇒ x = 2 và y = 1

 (x + 3) = -5 thì (y - 3) = 2 ⇒ x = -8 và y = 5

Ta có thể thiết lập bảng giá trị tổng hợp để tính toán các cặp số nghiệm một cách chính xác:

Kết luận: Các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình là: $(-4; 13)$, $(-2; -7)$, $(-13; 4)$, $(7; 2)$, $(-5; 8)$, $(-1; -2)$, $(-8; 5)$ và $(2; 1)$.

Dạng toán mở rộng 2: Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phân thức ẩn nghịch đảo $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$

• Phương pháp giải: Tiến hành đặt điều kiện xác định cho mẫu số. Quy đồng mẫu số chung để triệt tiêu phân thức, đưa phương trình về dạng cấu trúc tích đại số hai ẩn vừa học ở phần trên.

• Ví dụ: Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn hệ thức:

  $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$$

Lời giải:

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $y \neq 0$.

Thực hiện quy đồng hai vế của phương trình với mẫu thức chung là $3xy$, ta được:

Khử mẫu thức vế, phương trình trở thành phương trình nguyên:

Đặt nhân tử chung và biến đổi ép về dạng tích:

Vì $x, y \in \mathbb{Z}$ nên $(x - 3)$ và $(3 - y)$ là ước nguyên của $-9$.

Ta xét bảng tất cả các trường hợp giá trị sau:

Đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu $x \neq 0$ và $y \neq 0$, ta thực hiện loại bỏ trường hợp cặp số $(0; 0)$.

Kết luận: Các cặp số nguyên $(x, y)$ cần tìm là: $(4; 12)$, $(2; -6)$, $(6; 6)$, $(12; 4)$ và $(-6; 2)$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Tập

Các em học sinh hãy áp dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân loại chuyên đề trên để tự thực hành hoàn thiện các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm tập hợp tất cả các số nguyên $x$ để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:

• a) $\frac{x^2+4x+5}{x+4}$

• b) $\frac{x^2+7}{x+4}$

Bài tập 2: Tìm các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình đại số:

• a) $xy + 2x + y = 11$

• b) $9xy - 6x + 3y = 6$

• c) $2xy + 2x - y = 8$

• d) $xy - 2x + 4y = 9$