Cách nhân đơn thức với đơn thức, Phát biểu, ví dụ và bài tập Toán 7

Để tiếp tục mở rộng mạch kiến thức này, bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn chi tiết cách nhân đơn thức với đơn thức, phát biểu quy tắc tổng quát, đi kèm các ví dụ minh họa trực quan và hệ thống bài tập tự luyện có lời giải.

I. Quy Tắc Nhân Đơn Thức Với Đơn Thức

1. Phát biểu quy tắc

Muốn nhân hai hay nhiều đơn thức với nhau, ta thực hiện nhân các hệ số số thực với nhau và nhân các phần biến lũy thừa cùng loại với nhau.

2. Công thức tổng quát và chú ý

• Hệ thức mô phỏng:

  $$(a \cdot x^m) \cdot (b \cdot x^n) = (a \cdot b) \cdot x^{m+n}$$

• Lưu ý hình thức: Sau khi thực hiện phép tính nhân, kết quả thu được phải luôn luôn được viết dưới dạng một đơn thức thu gọn (mỗi biến chữ chỉ xuất hiện đúng một lần).

• Công thức lũy thừa bổ trợ: Để xử lý phần biến chữ, ta áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

  $$x^m \cdot x^n = x^{m+n} \quad (m, n \in \mathbb{N}^*)$$

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Ví dụ 1: Tính tích của hai đơn thức sau và tìm bậc của đơn thức thu được:

Lời giải:

Thực hiện phép tính nhân nhóm hệ số với hệ số, biến với biến:

Xác định bậc: Đơn thức thu gọn thu được là $6x^3y^2$.

Bậc của đơn thức này là tổng số mũ của tất cả các biến:

Vậy tích của hai đơn thức bằng $6x^3y^2$ và có bậc là 5.

Ví dụ 2: Hãy viết tất cả các đơn thức bậc ba đối với hai biến $x, y$ sao cho chúng cùng đạt giá trị bằng 2 tại điểm $x = 1$ và $y = -1$.

Lời giải:

Một đơn thức tổng quát chứa hai biến $x, y$ luôn có cấu trúc cấu thành dạng:

Vì đề bài yêu cầu đây phải là đơn thức bậc ba và chứa cả hai biến nên tổng số mũ của chúng phải bằng 3:

Suy ra các cặp số nguyên dương $(m, n)$ phù hợp chỉ có thể là $(2; 1)$ hoặc $(1; 2)$.

Theo giả thiết, tại $x = 1$ và $y = -1$, giá trị đơn thức bằng 2. Ta thiết lập phương trình dấu:

Ta tiến hành xét hai trường hợp của số mũ $n$:

• Trường hợp 1: Nếu $n = 1$ (số mũ lẻ)

  $$k \cdot (-1)^1 = 2$$
  $$-k = 2$$
  $$k = -2$$

  Vì $m + n = 3 \Rightarrow m = 3 - 1 = 2$.

  Đơn thức tìm được ở trường hợp này là: $-2x^2y$.

• Trường hợp 2: Nếu $n = 2$ (số mũ chẵn)

  $$k \cdot (-1)^2 = 2$$
  $$k \cdot 1 = 2$$
  $$k = 2$$

  Vì $m + n = 3 \Rightarrow m = 3 - 2 = 1$.

  Đơn thức tìm được ở trường hợp này là: $2xy^2$.

Kết luận: Các đơn thức thỏa mãn đầy đủ yêu cầu đề bài là $-2x^2y$ và $2xy^2$.

III. Bài Tập Tự Luyện Tập Có Hướng Dẫn Giải

Các em học sinh hãy tự áp dụng quy tắc trên để thực hành giải hai bài tập chuyên đề dưới đây:

Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân các đơn thức sau để thu gọn biểu thức:

Hướng dẫn giải: Thực hiện nhóm các hệ số số thực và các phần biến cùng loại:

Đáp số: Đơn thức thu gọn cuối cùng bằng $48x^3y^{13}$.

Bài tập 2: Tính giá trị của đơn thức tích $B = (-5x^5) \cdot (7y^2) \cdot (2z^3)$ tại các điểm giá trị $x = -1$, $y = 1$ và $z = 2$.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Thực hiện nhân thu gọn đơn thức $B$:

Bước 2: Thay các giá trị $x = -1, \ y = 1, \ z = 2$ vào đơn thức thu gọn:

Đáp số: Giá trị của đơn thức tại các điểm đã cho bằng 560.