Các dạng toán về số hữu tỉ và bài tập vận dụng (đầy đủ, chiết tất) Toán 7

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm về số hữu tỉ, đồng thời phân loại chi tiết 9 dạng bài tập thường gặp nhất kèm theo hướng dẫn giải cụ thể để các em tự tin học tập và đạt điểm số thật cao.

I. Kiến Thức Cơ Bản Về Số Hữu Tỉ

1. Định nghĩa tập hợp số hữu tỉ ($\mathbb{Q}$)

Số hữu tỉ là số có thể viết được dưới dạng phân số:

Trong đó $a, b \in \mathbb{Z}$ và mẫu số phải khác 0 ($b \neq 0$).

• Mọi số hữu tỉ đều có thể được biểu diễn chính xác trên trục số.

• Với hai số hữu tỉ bất kỳ $x$ và $y$, chúng ta luôn có một trong ba quan hệ so sánh: hoặc $x=y$, hoặc $x<y$, hoặc $x>y$.

• Số hữu tỉ dương là các số hữu tỉ lớn hơn 0.

• Số hữu tỉ âm là các số hữu tỉ nhỏ hơn 0.

• Số 0 là một số hữu tỉ đặc biệt, nó không phải là số hữu tỉ dương và cũng không phải là số hữu tỉ âm.

2. Các phép toán cơ bản trong tập hợp số hữu tỉ

Phép cộng và phép trừ:

Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách đưa chúng về dạng phân số có cùng một mẫu số dương, sau đó áp dụng quy tắc cộng, trừ tử thức thông thường và giữ nguyên mẫu số.

• Phép cộng số hữu tỉ có đầy đủ các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, và cộng với số đối.

• Quy tắc chuyển vế: Khi thực hiện biến đổi đẳng thức, nếu ta chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia, ta bắt buộc phải thực hiện đổi dấu số hạng đó (dấu cộng đổi thành dấu trừ, dấu trừ đổi thành dấu cộng).

Phép nhân và phép chia:

Ta thực hiện nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu đối với phép nhân; hoặc nhân với phân số nghịch đảo đối với phép chia.

• Phép nhân số hữu tỉ có đầy đủ các tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, và tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

• Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều luôn tồn tại duy nhất một số nghịch đảo tương ứng.

II. Các Dạng Toán Số Hữu Tỉ Thường Gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính đại số

• Phương pháp giải: Chuyển đổi các số hữu tỉ (số thập phân, hỗn số) về dạng phân số tối giản. Áp dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để thực hiện phép tính.

• Mẹo tính nhanh: Linh hoạt áp dụng tính chất phân phối để nhóm hạng tử:

  • $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

  • $a : c + b : c = (a + b) : c$

  • Cảnh báo sai lầm: Tuyệt đối không được áp dụng tính chất chia phân phối cho số bị chia: $a : b + a : c \neq a : (b + c)$.

Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{-2}{3} + \frac{-1}{12}$

b) $\frac{11}{30} - \frac{1}{5}$

c) $\frac{-5}{2} : \frac{3}{4}$

d) $4\frac{1}{5} : \left(-2\frac{2}{5}\right)$

Lời giải chi tiết:

a) $\frac{-2}{3} + \frac{-1}{12}$

Quy đồng mẫu số chung là 12:

$\frac{-8}{12} + \frac{-1}{12}$

$= \frac{-8 + (-1)}{12}$

$= \frac{-9}{12}$

Rút gọn phân số ta được kết quả: $\frac{-3}{4}$

b) $\frac{11}{30} - \frac{1}{5}$

Quy đồng mẫu số chung là 30:

$\frac{11}{30} - \frac{6}{30}$

$= \frac{11 - 6}{30}$

$= \frac{5}{30}$

Rút gọn phân số ta được kết quả: $\frac{1}{6}$

c) $\frac{-5}{2} : \frac{3}{4}$

Biến đổi phép chia thành phép nhân nghịch đảo:

$\frac{-5}{2} \cdot \frac{4}{3}$

$= \frac{-20}{6}$

Rút gọn phân số ta được kết quả: $\frac{-10}{3}$

d) $4\frac{1}{5} : \left(-2\frac{2}{5}\right)$

Chuyển đổi các hỗn số về dạng phân số trước khi chia:

$\frac{21}{5} : \left(-\frac{12}{5}\right)$

$= \frac{21}{5} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)$

$= \frac{21 \cdot (-5)}{5 \cdot 12}$

$= \frac{-21}{12}$

Rút gọn phân số ta được kết quả: $\frac{-7}{4}$

Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

• Phương pháp giải: * Nếu $\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng cách có độ dài 1 đơn vị cũ thành $b$ phần bằng nhau để thiết lập đơn vị mới. Sau đó, đi từ điểm 0 về phía chiều dương của trục số (bên phải) lấy đúng $a$ phần, ta sẽ xác định được vị trí của phân số.

  • Nếu $\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ âm, ta cũng chia đơn vị tương tự nhưng tiến từ điểm 0 về phía chiều âm của trục số (bên trái) lấy đúng $a$ phần.

• Ví dụ cụ thể: Để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{5}{4}$ trên trục số, ta chia đoạn thẳng đơn vị cũ (từ điểm 0 đến điểm 1) thành 4 phần bằng nhau. Điểm biểu diễn phân số $\frac{5}{4}$ sẽ nằm ở vị trí vạch thứ 5 tính từ điểm 0 đi về phía bên phải trục số.

  

Dạng 3: So sánh các số hữu tỉ

• Phương pháp giải: Ta có thể lựa chọn một trong các cách so sánh linh hoạt sau:

  • Quy đồng đưa các phân số về cùng một mẫu số dương rồi tiến hành so sánh tử số.

  • Sử dụng các số trung gian trực quan như số 0, số 1, số $-1$.

  • Phương pháp dựa vào phần bù tới đơn vị số 1.

  • Sử dụng phân số trung gian (lấy tử số của phân số này kết hợp với mẫu số của phân số kia).

Bài tập 1: Thực hiện so sánh các cặp số hữu tỉ sau đây:

a) $x = -2\frac{1}{5}$ và $y = \frac{-110}{50}$

b) $x = \frac{17}{20}$ và $y = 0,75$

c) $x = \frac{2000}{2001}$ và $y = \frac{2001}{2002}$

d) $x = \frac{2001}{2000}$ và $y = \frac{2002}{2001}$

Lời giải chi tiết:

a) Đổi hỗn số và rút gọn phân số để đối chiếu:

$x = -2\frac{1}{5} = -\frac{11}{5}$

$y = \frac{-110}{50} = -\frac{11}{5}$

Nhận thấy hai giá trị bằng nhau, kết luận: $x = y$.

b) Chuyển đổi số thập phân về phân số để so sánh cùng mẫu số:

$y = 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{15}{20}$

Vì hai phân số có cùng mẫu số dương là 20 và tử số $15 < 17$ nên $\frac{15}{20} < \frac{17}{20}$.

Kết luận: $y < x$.

c) Vận dụng phương pháp so sánh bằng phần bù tới số 1:

Ta có phần bù của $x$ là: $1 - x = 1 - \frac{2000}{2001} = \frac{1}{2001}$

Ta có phần bù của $y$ là: $1 - y = 1 - \frac{2001}{2002} = \frac{1}{2002}$

Vì hai phân số có cùng tử số là 1 và mẫu số $2001 < 2002$ nên $\frac{1}{2001} > \frac{1}{2002}$.

Do phần bù của $x$ lớn hơn phần bù của $y$ nên phân số $x$ phải nhỏ hơn phân số $y$.

Kết luận: $x < y$.

d) Vận dụng phương pháp so sánh bằng phần hơn lớn hơn số 1:

Ta tách phần hỗn số:

$x = \frac{2001}{2000} = 1 + \frac{1}{2000}$

$y = \frac{2002}{2001} = 1 + \frac{1}{2001}$

So sánh phần hơn: Vì $\frac{1}{2000} > \frac{1}{2001}$ nên phần hơn của $x$ lớn hơn phần hơn của $y$.

Kết luận: $x > y$.

Dạng 4: Tìm điều kiện để một số hữu tỉ là số dương, số âm, hoặc bằng 0

• Phương pháp giải: Dựa vào tính chất dấu của một phân số: phân số $\frac{a}{b}$ sẽ là số hữu tỉ dương khi tử và mẫu cùng dấu; là số hữu tỉ âm khi tử và mẫu trái dấu; và bằng 0 khi tử số $a = 0$ (mẫu số luôn khác 0).

Bài tập 1: Cho số hữu tỉ $x = \frac{m-2019}{2018}$. Với giá trị nào của số nguyên $m$ thì:

a) $x$ là số hữu tỉ dương?

b) $x$ là số hữu tỉ âm?

c) $x$ là số không dương cũng không âm?

Lời giải chi tiết: Nhận thấy mẫu số của phân số là $2018 > 0$. Do đó dấu của phân số phụ thuộc hoàn toàn vào tử số:

• a) Để $x$ là số dương thì tử số phải dương:

  $m - 2019 > 0$

  $m > 2019$

• b) Để $x$ là số âm thì tử số phải âm:

  $m - 2019 < 0$

  $m < 2019$

• c) Để $x$ không dương không âm thì $x = 0$, nghĩa là tử số bằng 0:

  $m - 2019 = 0$

  $m = 2019$

Bài tập 2: Cho số hữu tỉ $x = \frac{20m+11}{-2010}$. Với giá trị nào của số nguyên $m$ thì:

a) $x$ là số hữu tỉ dương?

b) $x$ là số hữu tỉ âm?

Lời giải chi tiết: Nhận thấy mẫu số của phân số là $-2010 < 0$. Do đó:

• a) Để $x$ dương thì tử số phải trái dấu với mẫu số (tử số phải âm):

  $20m + 11 < 0$

  $20m < -11$

  $m < -\frac{11}{20}$

• b) Để $x$ âm thì tử số phải cùng dấu với mẫu số (tử số phải dương):

  $20m + 11 > 0$

  $20m > -11$

  $m > -\frac{11}{20}$

Dạng 5: Tìm các số hữu tỉ nằm trong một khoảng cho trước

• Phương pháp giải: Thực hiện quy đồng tử số hoặc mẫu số của các phân số để đưa về cùng một chuẩn so sánh, từ đó tìm khoảng giá trị của biến số nằm ở giữa.

• Ví dụ minh họa: Tìm số nguyên $a$ sao cho: $\frac{1}{9} < \frac{12}{a} < \frac{3}{2}$

• Lời giải: Thực hiện quy đồng hệ số chung cho tất cả các tử số là 12, ta được:

  $\frac{12}{108} < \frac{12}{a} < \frac{12}{8}$

  Suy ra khoảng giá trị của mẫu số: $8 < a < 108$.

  Vì $a$ là số nguyên nên $a \in \{9; 10; 11; \dots; 107\}$.

Bài tập 1: Tìm 5 phân số lớn hơn $\frac{1}{5}$ và nhỏ hơn $\frac{3}{8}$.

Lời giải chi tiết: Thực hiện quy đồng tử số chung của hai phân số thành số 3:

$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$

Khi đó, khoảng phân số cần tìm nằm ở giữa $\frac{3}{15}$ và $\frac{3}{8}$.

Năm phân số phù hợp có cùng tử số 3 và giảm dần mẫu số là: $\frac{3}{14}; \frac{3}{13}; \frac{3}{12}; \frac{3}{11}; \frac{3}{10}$.

Bài tập 2: Tìm số nguyên $a$ thỏa mãn các hệ bất đẳng thức phân số sau:

1. $\frac{1}{2} < \frac{12}{a} < \frac{4}{3}$

2. $\frac{14}{8} < \frac{a}{8} < 4$

Gợi ý đáp số bài 2:

• 1. Quy đồng tử số chung thành 12, ta có $\frac{12}{24} < \frac{12}{a} < \frac{12}{9} \Rightarrow 9 < a < 24$. Đáp số: $a \in \{10; 11; \dots; 23\}$.

  2. Quy đồng mẫu số chung thành 8, ta có $\frac{14}{8} < \frac{a}{8} < \frac{32}{8} \Rightarrow 14 < a < 32$. Đáp số: $a \in \{15; 16; \dots; 31\}$.

Dạng 6: Tìm biến số để biểu thức nhận giá trị nguyên

• Phương pháp giải: * Nếu tử số là một hằng số (không chứa biến $x$), ta khẳng định mẫu số phải là ước nguyên của tử số.

  • Nếu tử số có chứa biến $x$, ta sử dụng phương pháp tách tử số theo mẫu số (chia đa thức) hoặc sử dụng dấu hiệu chia hết của một tổng/hiệu số học để đưa phần biến về dạng số tự do.

Ví dụ 1: Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $A = \frac{6}{x-1}$ nhận giá trị nguyên.

• Lời giải: Điều kiện xác định: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

  Để biểu thức $A$ có giá trị nguyên thì hằng số 6 phải chia hết cho đa thức mẫu $(x - 1)$. Do đó, $(x - 1)$ là ước nguyên của 6:

  $\text{Ư}(6) = \{-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6\}$

  Ta lập bảng tìm giá trị tương ứng của $x$:

  • $x - 1 = -6 \Rightarrow x = -5$

  • $x - 1 = -3 \Rightarrow x = -2$

  • $x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$

  • $x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0$

  • $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$

  • $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$

  • $x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4$

  • $x - 1 = 6 \Rightarrow x = 7$

    Đối chiếu điều kiện $x \neq 1$, tất cả các giá trị trên đều thỏa mãn. Tập hợp nghiệm cần tìm là $x \in \{-5; -2; -1; 0; 2; 3; 4; 7\}$.

Ví dụ 2: Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $B = \frac{2x+3}{x-1}$ nhận giá trị nguyên.

• Lời giải: Điều kiện xác định: $x \neq 1$.

  Cách 1 (Tách cấu trúc tử thức): Ta tách tử số xuất hiện bội của mẫu số:

  $B = \frac{2x - 2 + 5}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 5}{x - 1} = 2 + \frac{5}{x - 1}$

  Để biểu thức $B$ nhận giá trị nguyên thì phân số $\frac{5}{x-1}$ phải nguyên, suy ra $(x - 1)$ là ước nguyên của 5:

  $\text{Ư}(5) = \{-5; -1; 1; 5\}$

  Ta lập bảng tính giá trị ẩn:

Tập hợp nghiệm thỏa mãn điều kiện là $x \in \{-4; 0; 2; 6\}$.

Cách 2(Dùng dấu hiệu chia hết): Tìm điều kiện tử  tử, mẫu  mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, hiệu.

ĐK: x≠1 ta có: (x-1)  (x -1) nên 2(x-1)  (x-1) hay 2x-2  x-1  (*)

Để B nguyên thì 2x+3  x-1 (**), từ (*) và (**) ta có: 2x+3-(2x-2)  x-1 ⇔ 5  x-1

 Nên (x-1) ∈ Ư(5) = {-5,-1,1,5} và ta có kết quả tương tự trên.

Bài tập 1: Tìm số nguyên $x$ để các biểu thức phân số sau nhận giá trị nguyên:

a) $\frac{3x+2}{2x+1}$

b) $\frac{x^2+4x+7}{x+4}$

c) $\frac{x^2+7}{x+4}$

Gợi ý lời giải bài 1:

• a) Nhân thêm hệ số 2 vào tử thức để xuất hiện biến giống mẫu thức: $2(3x + 2) = 6x + 4$. Ta biết $3(2x + 1) = 6x + 3$ luôn chia hết cho $(2x + 1)$. Để đa thức ban đầu chia hết thì hiệu của chúng: $(6x + 4) - (6x + 3) = 1$ phải chia hết cho $(2x + 1)$. Suy ra $(2x + 1) \in \text{Ư}(1) = \{-1; 1\}$. Giải ra ta được tập nghiệm $x \in \{-1; 0\}$.

• b) Tách hạng tử ở tử: $\frac{x(x+4)+7}{x+4} = x + \frac{7}{x+4}$. Đưa về bài toán tìm ước nguyên của 7. Tập nghiệm thỏa mãn là $x \in \{-11; -5; -3; 3\}$.

• c) Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tách tử: $\frac{x^2-16+23}{x+4} = \frac{(x-4)(x+4)+23}{x+4} = x - 4 + \frac{23}{x+4}$. Đưa về bài toán tìm ước nguyên của 23. Tập nghiệm thỏa mãn là $x \in \{-27; -5; -3; 19\}$.

Dạng toán mở rộng 1: Biểu thức hai ẩn số nguyên có dạng $ax + bxy + cy = d$

• Phương pháp giải: Tiến hành nhóm hạng tử chứa tích kép $xy$ với một hạng tử chứa đơn biến, đặt nhân tử chung để ép biểu thức về cấu trúc tích tổng quát dạng đại số: $(A \cdot x + B)(C \cdot y + D) = k$.

• Ví dụ minh họa: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn đẳng thức: $xy - 3x + 3y = -1$

• Lời giải: Nhóm số hạng và đặt nhân tử chung ẩn $x$:

  $x(y - 3) + 3y - 9 = -1 - 9$

  $x(y - 3) + 3(y - 3) = -10$

  $(x + 3)(y - 3) = -10$

  Do $x, y$ là các số nguyên nên $(x + 3)$ và $(y - 3)$ phải là ước nguyên của $-10$. Ta lập bảng xét các trường hợp giá trị sau:

Dạng toán mở rộng 2: Phương trình phân số có cấu trúc $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = c$

• Phương pháp giải: Thực hiện quy đồng mẫu số để triệt tiêu phân thức, chuyển vế đổi dấu đưa bài toán quay trở lại dạng tích hai ẩn vừa học ở phần trên.

• Ví dụ minh họa: Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$

• Lời giải: Quy đồng mẫu số chung $3xy$ ở hai vế và khử mẫu, ta được phương trình nguyên:

  $3y + 3x = xy$

  $3x - xy + 3y = 0$

  $x(3 - y) - 3(3 - y) + 9 = 0$

  $(x - 3)(3 - y) = -9$

  Vì $x, y$ là các số nguyên nên $(x - 3)$ và $(3 - y)$ là các ước nguyên của $-9$. Ta lập bảng xét các giá trị hệ thống sau:

Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = frac{-101}{a+7} là một số nguyên.

Bài 2: Tìm số nguyên b để số hữu tỉ y =  frac{3b-8}{b-5} là một số nguyên.

Bài 3: Tìm các số x, y nguyên thoả mãn

a) xy+2x+y=11

b) 9xy-6x+3y=6

c) 2xy+2x-y=8

d) xy-2x+4y=9

Dạng 7: Các bài toán tìm giá trị ẩn số $x$

• Phương pháp giải: Quy đồng mẫu thức để khử mẫu (nếu có), chuyển tất cả các số hạng có chứa ẩn $x$ về một vế, các hằng số tự do về vế còn lại bằng quy tắc chuyển vế đổi dấu để cô lập tìm $x$.

Bài tập 1: Tìm $x$, biết:

a) $x \cdot \left(\frac{-3}{7}\right) = \frac{5}{21}$

b) $x : \left(\frac{-2}{5}\right) = \frac{-15}{16}$

Lời giải chi tiết:

• a) Thực hiện chuyển vế phép tính nhân thành phép tính chia:

  $x = \frac{5}{21} : \left(\frac{-3}{7}\right) = \frac{5}{21} \cdot \left(\frac{-7}{3}\right) = \frac{5 \cdot (-1)}{3 \cdot 3} = -\frac{5}{9}$

• b) Thực hiện chuyển vế phép tính chia thành phép tính nhân:

  $x = \frac{-15}{16} \cdot \left(\frac{-2}{5}\right) = \frac{(-3) \cdot (-1)}{8 \cdot 1} = \frac{3}{8}$

Bài tập 2: Tìm $x$, biết:

a) $\frac{2}{3}x + \frac{5}{6} = \frac{1}{9}$

b) $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}$

Lời giải chi tiết:

• a) Chuyển vế hằng số và quy đồng:

  $\frac{2}{3}x = \frac{1}{9} - \frac{5}{6} = \frac{2}{18} - \frac{15}{18} = -\frac{13}{18}$

  $x = -\frac{13}{18} : \frac{2}{3} = -\frac{13}{18} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{13}{12}$

• b) Chuyển vế hằng số và quy đồng:

  $\frac{3}{4}x = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{11}{10}$

  $x = \frac{11}{10} : \frac{3}{4} = \frac{11}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{22}{15}$

Bài tập 3 (Nâng cao): Tìm giá trị $x$, biết:

a) $\frac{1}{2}x + \frac{3}{5}x = -\frac{33}{10}$

b) $\frac{x+5}{2005} + \frac{x+6}{2004} + \frac{x+7}{2003} = -3$

Lời giải chi tiết:

• a) Áp dụng tính chất phân phối đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài:

  $\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{5}\right)x = -\frac{33}{10}$

  $\frac{11}{10}x = -\frac{33}{10}$

  $x = -\frac{33}{10} : \frac{11}{10} = -3$

• b) Áp dụng phương pháp cộng thêm 1 đơn vị vào mỗi phân thức ở vế trái:

  $\left(\frac{x+5}{2005} + 1\right) + \left(\frac{x+6}{2004} + 1\right) + \left(\frac{x+7}{2003} + 1\right) = -3 + 3$

  $\frac{x+2010}{2005} + \frac{x+2010}{2004} + \frac{x+2010}{2003} = 0$

  Đặt nhân tử chung là đa thức chứa ẩn $(x + 2010)$ ra ngoài:

  $(x + 2010) \cdot \left(\frac{1}{2005} + \frac{1}{2004} + \frac{1}{2003}\right) = 0$

  Vì biểu thức tổng các phân số trong ngoặc luôn lớn hơn 0, nên giá trị buộc phải bằng 0 là:

  $x + 2010 = 0$

  $x = -2010$

Dạng 8: Tìm ẩn số trong hệ các bất phương trình tích và thương

• Phương pháp giải: Áp dụng tính chất dấu xét tích và thương đại số:

  • Tích hoặc thương lớn hơn 0 khi hai biểu thức cùng dấu.

  • Tích hoặc thương nhỏ hơn 0 khi hai biểu thức trái dấu.

  • Mẹo giải nhanh: Đối với dạng toán trái dấu có cấu trúc $(x - a)(x - b) < 0$ với $a < b$, biểu thức luôn xảy ra khi giá trị của ẩn nằm kẹp giữa hai nghiệm: $a < x < b$.

Ví dụ minh họa: Tìm số hữu tỉ $x$ biết:

a) $(2x + 4)(x - 3) \geq 0$

b) $\frac{x+5}{x-1} < 0$

c) $(x - 2)(x + 5) < 0$

Lời giải chi tiết:

• a) Để tích hai nhị thức không âm, chúng phải cùng dấu. Ta chia làm 2 hệ điều kiện:

  Hệ 1 (Cùng dương): $2x + 4 \geq 0$ và $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ và $x \geq 3 \Rightarrow x \geq 3$.

  Hệ 2 (Cùng âm): $2x + 4 \leq 0$ và $x - 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq -2$ và $x \leq 3 \Rightarrow x \leq -2$.

  Vậy khoảng nghiệm thỏa mãn bài toán là $x \geq 3$ hoặc $x \leq -2$.

• b) Để phân thức nhận giá trị âm, tử số và mẫu số phải trái dấu. Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số: $x + 5 > x - 1$. Do đó biểu thức âm khi tử số nhận dấu dương và mẫu số nhận dấu âm:

  $x + 5 > 0$ và $x - 1 < 0$

  $x > -5$ và $x < 1$

  Khoảng nghiệm thu gọn là: $-5 < x < 1$.

• c) Tương tự câu b, tích hai số hạng nhỏ hơn 0 khi chúng trái dấu. Vì $x + 5 > x - 2$ nên hệ bất phương trình chỉ thỏa mãn khi:

  $x + 5 > 0$ và $x - 2 < 0$

  $x > -5$ và $x < 2$

  Khoảng nghiệm thu gọn là: $-5 < x < 2$.

Bài tập: Tìm x biết

a) (x-1)(x+4)>0

b) (3x-1)(2x+4)≥0

c) (3-x)(x+1)<0

Dạng 9: Bài toán tính tổng dãy số theo quy luật liên tiếp

• Phương pháp giải:

  • Đối với dãy số cách đều: Số số hạng = $\frac{\text{Số cuối} - \text{Số đầu}}{\text{Khoảng cách}} + 1$

    Tổng dãy số = $\frac{(\text{Số cuối} + \text{Số đầu}) \cdot \text{Số số hạng}}{2}$

  • Đối với dãy số có quy luật phân thức triệt tiêu (Telescoping Series): Biến đổi cấu trúc từng phân số trong dãy số thành hiệu của hai phân số nhỏ để tiến hành triệt tiêu các hạng tử đối nhau ở giữa vế.

Ví dụ 1: Tính tổng dãy số cách đều sau: $S = 1 + 3 + 5 + \dots + 99$

• Lời giải: Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp bằng 2.

  Số số hạng của dãy số là: $\frac{99 - 1}{2} + 1 = 50$ số hạng.

  Tổng giá trị của dãy số $S$ là: $\frac{(1 + 99) \cdot 50}{2} = 2500$.

Chú ý:

$A = 1.3 + 2.4 + 3.5 +...+ \frac{(n-1)}{n+1}$ $= \frac{n [(n-1).(2n+1)]}{6}$

$A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ (n – 1)n$ $= frac{n.(n – 1 ).(n + 1)}{3}$

$A = 1 + 2 + 3 +…+ (n-1) + n$ $= \frac{n(n+1)}{2}$

$A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +...+ (n-2)(n-1)n$ $= \frac{(n-2)(n-1)n(n+1)}{4}$

$A = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ 99^2 + 100^2+...+n^2$ $= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Tính tổng dãy phân thức có mẫu là tích các số tự nhiên liên tiếp

• Phương pháp giải: Đối với các phân thức có mẫu là tích của các số tự nhiên liên tiếp, ta tìm cách phân tích tử số thành hiệu của hai số (số cuối trừ số đầu của tích dưới mẫu thức) để tách thành hiệu các phân thức phân rã, từ đó triệt tiêu các hạng tử đối nhau ở giữa vế.

• Ví dụ minh họa: Tính tổng biểu thức sau:

  $$S_n = \frac{2}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots + \frac{2}{98 \cdot 99 \cdot 100}$$

• Lời giải chi tiết: Ta phân tích tử số $2 = 3 - 1 = 4 - 2 = \dots = 100 - 98$ tương ứng với hiệu số dưới mẫu:

  $S_n = \frac{3-1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{4-2}{2 \cdot 3 \cdot 4}$ $+ \dots + \frac{100-98}{98 \cdot 99 \cdot 100}$

Tách từng phân thức thành hiệu của hai phân thức nhỏ hơn:

Thực hiện rút gọn tử và mẫu của từng phân thức:

Triệt tiêu các hạng tử giống nhau đối dấu liên tiếp ở giữa vế, biểu thức thu gọn còn lại:

Hệ thống bài tập tự luyện chuyên đề tổng hợp

Bài tập 1: Tính giá trị của các tổng sau đây

1) $A = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + 99 \cdot 101$

Gợi ý phương pháp: Các em thực hiện biến đổi thừa số thứ hai của mỗi hạng tử theo quy luật: $3 = 2 + 1; 4 = 3 + 1; 5 = 4 + 1; \dots; 101 = 100 + 1$. Biểu thức $A$ tách thành tích các số tự nhiên liên tiếp cộng với tổng dãy số cách đều.

2) $A = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + 99 \cdot 102$

Gợi ý phương pháp: Các em thực hiện thay thế lần lượt các thừa số thứ hai bao gồm $4, 5, 6, \dots, 102$ bằng các cụm tổng tương ứng là $(2 + 2), (3 + 2), (4 + 2), \dots, (100 + 2)$ rồi khai triển nhân phân phối để tính.

3) $A = 4 + 12 + 24 + 40 + \dots + 19404 + 19800$

Gợi ý phương pháp: Thực hiện chia cả hai vế của biểu thức cho hằng số 2 để đưa dãy số về dạng tổng của các tích hai số tự nhiên liên tiếp: $\frac{A}{2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 99 \cdot 100$.

4) $A = 1 + 3 + 6 + 10 + \dots + 4851 + 4950$

Gợi ý phương pháp: Thực hiện nhân cả hai vế của biểu thức với hằng số 2 để đưa dãy số về dạng tổng của các tích hai số tự nhiên liên tiếp quy luật quen thuộc: $2A = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 99 \cdot 100$.

5) $A = 6 + 16 + 30 + 48 + \dots + 19600 + 19998$

Gợi ý phương pháp: Thực hiện chia cả hai vế của biểu thức cho hằng số 2 để đưa biểu thức về dạng tổng đã biết ở câu số 1: $\frac{A}{2} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + 99 \cdot 101$.

Bài tập 2: Tìm giá trị của ẩn số $x$ trong các dãy tính sau

a) $(x + 2) + (x + 12) + (x + 42) + (x + 47) = 655$

Lời giải chi tiết: Phá các dấu ngoặc nhóm hạng tử chứa ẩn và hạng tử hằng số:

$(x + x + x + x) + (2 + 12 + 42 + 47) = 655$

$4x + 103 = 655$

$4x = 655 - 103$

$4x = 552$

$x = 552 : 4$

$x = 138$

Vậy giá trị ẩn tìm được là $x = 138$.

b) $x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + \dots + (x + 2009) = 2009 \cdot 2010$

Lời giải chi tiết: Dãy tính vế trái có tất cả $2010$ số hạng chứa ẩn $x$. Ta tách biểu thức thành hai nhóm:

$2010x + (1 + 2 + 3 + \dots + 2009) = 2009 \cdot 2010$

Tính tổng dãy số cách đều trong ngoặc vế trái:

$\text{Tổng} = \frac{(1 + 2009) \cdot 2009}{2} = \frac{2010 \cdot 2009}{2} = 1005 \cdot 2009$

Phương trình trở thành:

$2010x + 1005 \cdot 2009 = 2009 \cdot 2010$

$2010x = 2009 \cdot 2010 - 1005 \cdot 2009$

Đặt nhân tử chung $2009$ ở vế phải:

$2010x = 2009 \cdot (2010 - 1005)$

$2010x = 2009 \cdot 1005$

$2010x = 2019045$

$x = 2019045 : 2010$

$x = \frac{2009}{2}$

Vậy giá trị ẩn tìm được là $x = \frac{2009}{2}$.

Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức tích liên tiếp

Tính tổng biểu thức sau: $M = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + 2009 \cdot 2010$

Lời giải chi tiết: Nhân cả hai vế của biểu thức $M$ với hằng số 3:

$3M = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + \dots + 2009 \cdot 2010 \cdot 3$

Tách thừa số 3 ở cuối mỗi hạng tử thành hiệu hai số tự nhiên để tạo quy luật triệt tiêu:

$3M = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot (4 - 1) + 3 \cdot 4 \cdot (5 - 2) + \dots + 2009 \cdot 2010 \cdot (2011 - 2008)$

$3M = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 2009 \cdot 2010 \cdot 2011 - 2008 \cdot 2009 \cdot 2010$

Thu gọn các hạng tử đối nhau liên tiếp, biểu thức còn lại số cuối cùng:

$3M = 2009 \cdot 2010 \cdot 2011$

$3M = 8120612610$

$M = 8120612610 : 3$

$M = 2706870870$

Vậy tổng giá trị biểu thức $M$ bằng $2706870870$.

Bài tập 4: Cho biểu thức $A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{100}$. Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $2A + 3 = 3^n$.

Lời giải chi tiết: Nhân cả hai vế của biểu thức $A$ với hằng số cơ số là 3:

$3A = 3 \cdot (3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{100})$

$3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + \dots + 3^{101}$

Thực hiện phép tính trừ giữa hai biểu thức $3A$ và $A$ theo vế:

$3A - A = (3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{101}) - (3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{100})$

$2A = 3^{101} - 3$

Theo đề bài ra, ta có hệ thức:

$2A + 3 = 3^n$

Thay giá trị $2A = 3^{101} - 3$ vừa tìm được vào hệ thức:

$(3^{101} - 3) + 3 = 3^n$

$3^{101} = 3^n$

$n = 101$

Vậy số tự nhiên cần tìm là $n = 101$.

Bài tập 5: Cho biểu thức lũy thừa bậc cao: $M = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{100}$

a) Biểu thức $M$ có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?

b) Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $2M + 3 = 3^n$.

Lời giải chi tiết: a) * Chứng minh $M$ chia hết cho 4: Dãy số $M$ có 100 số hạng, ta tiến hành nhóm liên tiếp 2 số hạng đứng cạnh nhau thành một cặp:

$M = (3 + 3^2) + (3^3 + 3^4) + \dots + (3^{99} + 3^{100})$

Đặt nhân tử chung cho từng cụm dấu ngoặc:

$M = 3 \cdot (1 + 3) + 3^3 \cdot (1 + 3) + \dots + 3^{99} \cdot (1 + 3)$

$M = 3 \cdot 4 + 3^3 \cdot 4 + \dots + 3^{99} \cdot 4$

$M = 4 \cdot (3 + 3^3 + \dots + 3^{99})$

Vì tích chứa thừa số 4 nên biểu thức $M$ luôn chia hết cho 4.

• Chứng minh $M$ chia hết cho 12: Dựa trên kết quả biến đổi đặt nhân tử chung ở câu trên, ta có biểu thức:

  $M = 3 \cdot 4 + 3^3 \cdot 4 + \dots + 3^{99} \cdot 4$

  $M = 12 + 3^2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + 3^{98} \cdot 3 \cdot 4$

  $M = 12 + 3^2 \cdot 12 + \dots + 3^{98} \cdot 12$

  $M = 12 \cdot (1 + 3^2 + \dots + 3^{98})$

  Vì tích chứa thừa số 12 nên biểu thức $M$ luôn chia hết cho 12.

b) Thực hiện nhân cả hai vế của biểu thức $M$ với hằng số cơ số là 3:

$3M = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + \dots + 3^{101}$

Thực hiện hiệu tính toán:

$3M - M = (3^2 + 3^3 + \dots + 3^{101}) - (3 + 3^2 + \dots + 3^{100})$

$2M = 3^{101} - 3$

Thay vào đẳng thức điều kiện đề bài $2M + 3 = 3^n$, ta được:

$3^{101} - 3 + 3 = 3^n$

$3^{101} = 3^n$

$n = 101$

Vậy số tự nhiên cần tìm là $n = 101$.