Hotline 0936685849

Giải bài 4 trang 48 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

14:42:4614/06/2023

Chào các em! Việc chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến là một dạng bài toán quan trọng trong đại số. Để làm được điều này, chúng ta cần rút gọn biểu thức đó về một hằng số. Bài tập này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về các phép tính phân thức và hằng đẳng thức đáng nhớ để giải quyết bài toán này.

Đề bài:

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $\dpi{100} A=\left (\frac{x}{xy-y^2}+\frac{2x-y}{xy-x^2} \right ).\frac{x^2y-xy^2}{(x-y)^2}$

b) $\dpi{100} B=\left (\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4} \right ):\left (\frac{1}{x+2} -\frac{1}{x-2} \right ).(x^2-4)$

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến, ta cần rút gọn biểu thức đó. Nếu kết quả rút gọn là một hằng số, thì điều phải chứng minh là đúng. Các em cần vận dụng linh hoạt các phương pháp sau:

Phân tích nhân tử: Sử dụng đặt nhân tử chung và các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Quy đồng mẫu thức: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức trong ngoặc.
Thực hiện phép tính: Nhân, chia các phân thức theo đúng thứ tự.
Rút gọn: Chia cả tử và mẫu cho các nhân tử chung để đơn giản hóa biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) $\dpi{100} A=\left (\frac{x}{xy-y^2}+\frac{2x-y}{xy-x^2} \right ).\frac{x^2y-xy^2}{(x-y)^2}$

$\dpi{100} =\left [\frac{x}{y(x-y)}+\frac{2x-y}{x(y-x)} \right ].\frac{xy(x-y)}{(x-y)^2}$

$\dpi{100} =\left [\frac{x}{y(x-y)}-\frac{2x-y}{x(x-y)} \right ].\frac{xy}{(x-y)}$

$\dpi{100} =\frac{x}{y(x-y)}.\frac{xy}{(x-y)}-\frac{2x-y}{x(x-y)}.\frac{xy}{(x-y)}$

$\dpi{100} =\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{2xy-y^2}{(x-y)^2}$

$=\frac{x^2-2xy+y^2}{(x-y)^2}$

$\dpi{100} =\frac{(x-y)^2}{(x-y)^2}=1$

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) $\dpi{100} B=\left (\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x^2-4x+4} \right ):\left (\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2} \right ).(x^2-4)$

$\dpi{100} =\left [\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x-2)^2} \right ] :\left (\frac{1}{x+2} +\frac{1}{x-2} \right ).(x^2-4)$

$\dpi{100} =\left [\frac{(x-2)^2-(x+2)^2}{(x+2)^2.(x-2)^2} \right ] :\left [\frac{(x-2)+(x+2)}{(x+2).(x-2)}\right] .(x^2-4)$

$\dpi{100} =\left [\frac{-8x}{(x+2)^2(x-2)^2} \right ] :\left [\frac{2x}{(x+2).(x-2)}\right] .(x^2-4)$

$\dpi{100} = \frac{-8x}{[(x+2)(x-2)]^2} .\frac{(x+2)(x-2)}{2x} .(x-2)(x+2)$

$\dpi{100} = \frac{-8x}{2x} =-4$

Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được kỹ năng chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức và phép tính phân thức. Việc nắm vững các bước này là chìa khóa để giải quyết các bài toán một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 47 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Thực hiện phép tính:...

Bài 2 trang 48 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Thực hiện phép tính:...

Bài 3 trang 48 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Tính một cách hợp lí:...

Bài 5 trang 48 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong...

Bài 6 trang 48 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều: Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi...