Giải bài 4 trang 40 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

14:32:0406/06/2023

Bài toán này sử dụng mô hình hàm số lượng giác $d(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right) + 12$ để dự đoán số giờ có ánh sáng mặt trời $d(t)$ của một thành phố theo ngày $t$ trong năm. Để tìm ngày $t$ tương ứng với số giờ ánh sáng mặt trời cho trước, ta cần giải các phương trình lượng giác cơ bản với ẩn là $t$ .

Lưu ý: $t$ là số nguyên, và $0 < t \le 365$ (năm không nhuận)

Đề bài:

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $\small d(t)=3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]+12$ với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta cần giải phương trình $d(t) = H$ (với $H$ là số giờ ánh sáng mặt trời đã cho) và tìm các nghiệm nguyên $t$ thỏa mãn điều kiện $0 < t \le 365$ .

Thiết lập phương trình: Thay $d(t)$ bằng biểu thức và đặt bằng $H$ .
Đưa về dạng $\sin u = a$ : Biến đổi phương trình để tìm giá trị của $\sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right)$ .
Giải phương trình lượng giác: Tìm nghiệm tổng quát cho $\frac{\pi}{182}(t-80)$ .
Tìm $t$ : Biểu diễn $t$ theo $k \in \mathbb{Z}$ và thay các giá trị $k$ để tìm nghiệm $t$ thỏa mãn $0 < t \le 365$ .

Lời giải chi tiết:

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=12

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]+12=12$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]=0$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) =k\pi\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t-80 =182k\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t=80+182k\: ,k\in \mathbb{Z}$

mà $\small t\in \mathbb{Z}$ và $\dpi{100} \small 0<t\leq 365$ nên

$\dpi{100} \small 0<80+182k\leq 365 \Leftrightarrow 0\leq k\leq 1,56$

⇒ k =0 hoặc k = 1

- Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

- Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và 262 trong năm.

hayhochoi vn

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=9

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]+12=9$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]=-3$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]=-1=sin\left (-\frac{\pi}{2} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) =-\frac{\pi}{2}+k2\pi\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t-80 =-91+364k\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t=-11+364k\: ,k\in \mathbb{Z}$

mà $\small t\in \mathbb{Z}$ và $\dpi{100} \small 0<t\leq 365$ nên

$\dpi{100} \small 0<-11+364k\leq 365 \Leftrightarrow 0< k\leq 1,03$

⇒ k = 1

- Với k = 1 thì t = -11 + 364.1 = 353;

Vậy Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=15

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]+12=15$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 3sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]=3$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin\left [\frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) \right ]=1=sin\left (\frac{\pi}{2} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{\pi}{182}\left ( t-80 \right ) =\frac{\pi}{2}+k2\pi\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t-80 =91+364k\: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t=171+364k\: ,k\in \mathbb{Z}$

mà $\small t\in \mathbb{Z}$ và $\dpi{100} \small 0<t\leq 365$ nên

$\dpi{100} \small 0<171+364k\leq 365 \Leftrightarrow 0\leq k\leq 0,53$

⇒ k = 0

- Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171;

Vậy Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm

ố giờ ánh sáng mặt trời (H)	Phương trình sinu=a	Ngày (t)
12 giờ	$\sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right) = 0$	$t = 80$ và $t = 262$
9 giờ	$\sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right) = -1$	$t = 353$
15 giờ	$\sin\left(\frac{\pi}{182}(t-80)\right) = 1$	$t = 171$