Giải bài 1 trang 40 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

14:17:5106/06/2023

Bài toán này yêu cầu chúng ta giải các phương trình lượng giác cơ bản dạng $\sin u = a$ , $\cos u = a$ , $\tan u = a$ và $\cot u = a$ . Để giải các phương trình này, ta cần đưa chúng về dạng $\sin u = \sin v$ , $\cos u = \cos v$ , $\tan u = \tan v$ , $\cot u = \cot v$ và áp dụng các công thức nghiệm tương ứng.

Đề bài:

Giải phương trình:

a) $\small sin\left ( 2x-\frac{\pi}{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\dpi{100} \small sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{1}{2}$

c) $\dpi{100} \small cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $\dpi{100} \small 2cos3x + 5 = 3$

e) $\small 3tanx=-\sqrt{3}$

g) $\dpi{100} \small cotx-3=\sqrt{3}(1-cotx)$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng các công thức nghiệm tổng quát sau:

Phương trình sinu=sinv:
$\begin{cases} u = v + k2\pi \\ u = \pi - v + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$
Phương trình cosu=cosv:
$u = \pm v + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
Phương trình tanu=tanv (hoặc cotu=cotv):
$u = v + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trước khi áp dụng công thức, ta cần biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) $\small sin\left ( 2x-\frac{\pi}{3} \right )=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin\left ( 2x-\frac{\pi}{3} \right )=sin\left (-\frac{\pi}{3} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 2x-\frac{\pi}{3} =-\frac{\pi}{3} +k2\pi\\ \\ 2x-\frac{\pi}{3} =\pi-\left (-\frac{\pi}{3} \right ) +k2\pi \end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x =k\pi\\ \\ x =\frac{5\pi}{6} +k\pi \end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm:

$\dpi{100} \small x =k\pi\:, k\in \mathbb{Z}$ và $\small x =\frac{5\pi}{6} +k\pi\:, k\in \mathbb{Z}$

b) $\dpi{100} \small sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{1}{2}$

$\dpi{100} \small\Leftrightarrow sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=sin\left (-\frac{\pi}{6} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 3x+\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{6} +k2\pi\\ \\ 3x+\frac{\pi}{4} =\pi-\left (-\frac{\pi}{6} \right ) + k2\pi \end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x =-\frac{5\pi}{36}+\frac{k2\pi}{3}\\ \\ x =\frac{11\pi}{36} +\frac{k2\pi}{3}\end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

c) $\dpi{100} \small cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \right )=cos\left ( \frac{\pi}{6} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} +k2\pi \\ \\ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} +k2\pi \end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{6} +k4\pi \\ \\ x=-\frac{5\pi}{6} +k4\pi \end{matrix} \right.,\: k\in \mathbb{Z}$

d) $\dpi{100} \small 2cos3x + 5 = 3$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow 2cos3x = -2$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos3x = -1=cos(\pi)$

3x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})

e) $\small 3tanx=-\sqrt{3}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow tanx=-\frac{\sqrt{3}}{3}=tan\left ( -\frac{\pi}{6} \right )$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow x= -\frac{\pi}{6} +k\pi\: ,k\in \mathbb{Z}$

g) $\dpi{100} \small cotx-3=\sqrt{3}(1-cotx)$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cotx-3=\sqrt{3}-\sqrt{3}cotx$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cotx+\sqrt{3}cotx=3+\sqrt{3}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow (1+\sqrt{3})cotx=\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cotx=\sqrt{3}=cot\frac{\pi}{6}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} +k\pi\: ,k\in \mathbb{Z}$

Các nghiệm của phương trình lượng giác đã cho là:

a) $\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = k\pi$ và $x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$ .
b) $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{5\pi}{36} + k\frac{2\pi}{3}$ và $x = \frac{11\pi}{36} + k\frac{2\pi}{3}$ .
c) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + k4\pi$ và $x = -\frac{5\pi}{6} + k4\pi$ .
d) $2\cos 3x + 5 = 3$ : $x = \frac{\pi}{3} + k\frac{2\pi}{3}$ .
e) $3\tan x = -\sqrt{3}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$ .
g) $\cot x - 3 = \sqrt{3}(1 - \cot x)$ : $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ .