Giải bài 14 trang 106 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài:

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Vẽ hình và đặt tên các điểm: Vẽ đường tròn tâm $O$, dây $AB$ và dây $CD$ song song với $AB$.

2. Sử dụng mối quan hệ vuông góc: Kẻ bán kính vuông góc với dây cung. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

3. Tính khoảng cách từ tâm đến dây: Áp dụng định lý Pythagore để tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ (đoạn $OH$).

4. Tính khoảng cách từ tâm đến dây còn lại: Dựa vào khoảng cách giữa hai dây song song và khoảng cách từ tâm đến dây $AB$, ta tính được khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $CD$ (đoạn $OK$).

5. Tính độ dài dây CD: Tiếp tục áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông chứa bán kính, khoảng cách từ tâm và một nửa độ dài dây $CD$ để tìm độ dài của dây $CD$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Vẽ OH ⊥ AB tại H, đường thẳng OH cắt CD tại K

Vì AB // CD mà OH ⊥ AB nên OH ⊥ CD hay OK ⊥ CD

Ta có: OK ⊥ CD và OH ⊥ AB

 (do đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Ta có: OB = OD = R = 25cm

• Xét ΔOBH vuông tại H (do OH ⊥ AB)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OB² = OH² + HB²

⇒ OH² = OB² – BH²

⇒ OH² = 25² – 20² = 225

⇒ OH =  = 15 (cm)

Lại có: HK = OH + OK

⇒ OK = HK – OH = 22 – 15 = 7 (cm) (HK là khoảng cách giữa hai dây song song AB và CD).

• Xét ΔOKD vuông tại K (do OK ⊥ CD)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

OD² = OK² + KD²

⇒ KD² = OD² – OK² = 25² – 7² = 576

⇒ KD =  = 24 (cm)

⇒ CD = 2KD = 2.24 = 48 (cm).