Bài 2.37 trang 74 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức: Trọng Tâm Tam Giác & Vectơ

Đề bài

Cho hình hợp ABCD.A'B'C'D', gọi G là trọng tâm của tam giác BDA'

a) Hãy biểu diễn  theo ,  và 

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng.

Phân tích và hướng dẫn

• Trọng tâm tam giác: Nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, thì với một điểm $O$ bất kỳ, ta có:

  .

  • Đặc biệt, nếu $O$ trùng với đỉnh $A$, ta có: .

• Quy tắc hình hộp: Với hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: .

• Ba điểm thẳng hàng: Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ  và  cùng phương, tức là  (với $k$ là một số thực khác 0).

Lời giải chi tiết:

Ta có hình sau:

a) Biểu diễn  theo , , 

• Bước 1: Áp dụng công thức trọng tâm. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác BDA′, ta có: 

  

• Bước 2: Chèn điểm $A$ vào các vectơ  và .

  

  

• Bước 3: Chuyển vế và đổi dấu để biểu diễn .

  

   (1)

b) Chứng minh ba điểm A, G và C' thẳng hàng

• Bước 1: Áp dụng quy tắc hình hộp để biểu diễn vectơ .

  Vì ABCD.A′B′C′D′ là hình hộp, ta có:  (2)

• Bước 2: So sánh kết quả từ câu a) và công thức quy tắc hình hộp. Từ (1) và (2), ta có thể thấy:

   

• Bước 3: Kết luận. Vì vectơ  bằng một số thực (là 1/3​) nhân với vectơ , nên hai vectơ này cùng phương.

  Do đó, ba điểm $A$, $G$ và C′ thẳng hàng.

Đáp số:

a)  

b) Vì  nên ba điểm $A$, $G$, C′ thẳng hàng.