Bài 1.12 trang 19 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.12 trang 19 Toán 12:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ - 6x + 3 trên đoạn [-1; 2]

b) y = x⁴ - 3x² + 2 trên đoạn [0; 3]

c) y = x - sin2x trên đoạn [0; π]

d) y = (x² - x)e^x trên đoạn [0; 1]

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số $y=f(x)$ liên tục trên một đoạn $[a;b]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm y′=f′(x).

2. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y′=0 để tìm các nghiệm xi​.

3. So sánh các giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm xi​ thuộc đoạn $[a;b]$ và tại hai mút của đoạn là $x=a$, $x=b$.

4. Kết luận: GTLN là giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính, còn GTNN là giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

a) y = 2x³ - 6x + 3 trên đoạn [-1; 2]

Ta có:

y' = 6x² - 6 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 1 (thỏa)

Khi đó:

y(-1) = 7

y(1) = -1

y(2) = 7

Vậy: $\min_{[-1;2]}y=y (1)=-1$

$\max_{[-1;2]}y=y (-1)=y(2)=7$

b) y = x⁴ - 3x² + 2 trên đoạn [0; 3]

Ta có:

y' = 4x³ - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (vì x ∈ [0; 3])

Khi đó:

y'(0) = 2;

$y'\left ( \frac{\sqrt{6}}{2} \right )=\frac{-1}{4}$;

y'(3) = 56

Vậy: $\min_{[0;3]}y=y \left ( \frac{\sqrt{6}}{2} \right )=\frac{-1}{4}$ và $\max_{[0;3]}y=y (3)=56$

c) y = x - sin2x trên đoạn [0; π]

y' = 1 - 2cos2x = 0 

$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,\: (k\in \mathbb{Z})$

Mà x ∈ [0; π] suy ra: $x=\frac{\pi }{6};\: x=\frac{5\pi }{6}$

Khi đó:

y(0) = 0

$y\left ( \frac{\pi }{6} \right )=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y\left ( \frac{5\pi }{6} \right )=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

y(π) = π

Vậy: $\min_{[0;\pi ]}y=y \left ( \frac{\pi }{6} \right )= \frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2

$\max_{[0;\pi ]}y=y \left ( \frac{5\pi }{6} \right )$ $= \frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) y = (x² - x)e^x trên đoạn [0; 1]

y' = (2x - 1)e² + (x² - x)e^x = 0 

$\Leftrightarrow e^x(x^2+x+1)=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (vì x ∈ [0; 1])

Khi đó:

y(0) = 0

$y\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )=(2-\sqrt{5})e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

y(1) = 0;

Vậy: $\min_{[0;\pi ]}y=y \left ( \frac{-1+\sqrt{5} }{2} \right )$ $= (2-\sqrt{5})e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

$\max_{[0;\pi ]}y=y(0)= y(1)=0$