Bài 1.14 trang 19 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu tìm các kích thước của một chiếc hộp không nắp, có đáy hình vuông và diện tích bề mặt là 108 cm², sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Thiết lập hàm số: Gọi kích thước của hộp là $x$ (cạnh đáy) và $h$ (chiều cao). Từ diện tích bề mặt đã cho, các em sẽ biểu diễn chiều cao $h$ theo cạnh đáy $x$. Sau đó, xây dựng hàm số biểu thị thể tích của hộp theo một biến duy nhất.

2. Tìm miền giá trị của biến: Xác định điều kiện của biến để nó có ý nghĩa trong bài toán hình học (độ dài cạnh phải là số dương).

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số thể tích.

4. Kết luận: Dựa vào kết quả tìm được, xác định kích thước của chiếc hộp có thể tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm) (x > 0) và chièu cao là h (cm) (h > 0)

Diện tích bề mặt của hình hộp là 108 cm² nên: x² + 4xh = 108

Thể tích của hình hộp là: 

Ta có: 

Bảng biến thiên:

Nên thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy x = 6 cm.

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: