Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và bài tập vận dụng (cực hay) - Toán 8

Bài viết dưới đây của Hay Học Hỏi sẽ hướng dẫn các em học sinh nắm vững phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu qua 4 bước chuẩn xác, cùng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao.

I. Phương Pháp Giải Phương Trình Chứa Ẩn Ở Mẫu

1. Khái niệm phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình mà phân thức của nó có chứa biến thức ở phần mẫu số. Dạng tổng quát thường gặp là:

(Trong đó $A(x), B(x), C(x), D(x)$ là các đa thức chứa biến $x$, và mẫu thức phải khác $0$).

2. Quy trình 4 bước giải chi tiết

Để giải dạng phương trình này một cách chính xác nhất, các em cần tuân thủ nghiêm ngặt theo 4 bước sau:

• Bước 1 (Tìm ĐKXĐ): Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Đây là bước bắt buộc để ép cho tất cả các mẫu thức trong phương trình phải khác $0$.

• Bước 2 (Quy đồng và khử mẫu): Tìm mẫu thức chung, tiến hành quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu (bỏ mẫu số). Lưu ý: Khi khử mẫu, ta sử dụng dấu suy ra ($\Rightarrow$) chứ không dùng dấu tương đương ($\Leftrightarrow$).

• Bước 3 (Giải phương trình): Thực hiện các phép tính đại số phá ngoặc, chuyển vế để giải phương trình vừa thu được ở Bước 2.

• Bước 4 (Đối chiếu và kết luận): Đối chiếu các giá trị nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định ở Bước 1. Giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ thì nhận làm nghiệm, giá trị nào vi phạm thì loại. Cuối cùng, kết luận tập nghiệm $S$.

II. Các Ví Dụ Minh Họa Có Lời Giải Chi Tiết

Để tránh hiện tượng tràn khung hình gây ra thanh cuộn ngang khó chịu trên máy tính và điện thoại, phần lời giải dưới đây đã được tối ưu trình bày theo cột dọc rõ ràng.

Ví dụ 1: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

Lời giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình:

• ĐKXĐ: $x \neq 0$ và $5x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 0$ và $x \neq \frac{1}{5}$.

Tiến hành quy đồng và khử mẫu phương trình:

Đối chiếu với ĐKXĐ, ta thấy giá trị $x = \frac{3}{11}$ hoàn toàn thỏa mãn điều kiện $x \neq 0$ và $x \neq \frac{1}{5}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{\frac{3}{11}\right\}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

Lời giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình:

• ĐKXĐ: $x - 1 \neq 0$ và $x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ và $x \neq -1$.

Biến đổi và thu gọn vế phải của phương trình trước khi quy đồng:

Quy đồng hai vế với mẫu chung là $(x-1)(x+1)$ và tiến hành khử mẫu:

Đối chiếu với ĐKXĐ ($x \neq \pm 1$), cả hai giá trị $x = 0$ và $x = \frac{5}{3}$ đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{0; \frac{5}{3}\right\}$.

III. Hệ Thống Bài Tập Tự Luyện Cực Hay

Các em hãy áp dụng quy trình 4 bước đã học để tự thực hành giải các bài tập chuyên đề dưới đây nhằm nâng cao kỹ năng tính toán.

Bài tập 1: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

a) $\frac{6x-1}{3x+2} = \frac{2x+5}{x-3}$

b) $\frac{y+5}{y-1} - \frac{y+1}{y-3} = \frac{-8}{(y-1)(y-3)}$

Gợi ý đáp số Bài 1:

• a) ĐKXĐ: $x \neq -\frac{2}{3}; x \neq 3$. Đáp số: $x = -\frac{7}{19}$.

• b) ĐKXĐ: $y \neq 1; y \neq 3$. Sau khi khử mẫu thu được phương trình bậc nhất vô nghiệm. Kết luận: $S = \emptyset$.

Bài tập 2: Cho phương trình chứa ẩn $x$ ở mẫu (với $a$ là tham số):

a) Giải phương trình khi thay giá trị $a = -3$.

b) Giải phương trình khi thay giá trị $a = 1$.

c) Giải phương trình khi thay giá trị $a = 0$.

Gợi ý phương pháp Bài 2:

Biến đổi mẫu số vế phải thành $a^2 - x^2 = (a-x)(a+x)$ để làm mẫu thức chung. Thay từng giá trị của $a$ vào rồi thực hiện giải phương trình chứa ẩn ở mẫu như bình thường.

Bài tập 3: Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau:

a) $\frac{1}{2x-3} - \frac{5}{x} = \frac{3}{x(2x-3)}$

b) $\frac{2x-5}{3x} = 1 - \frac{5x-1}{2}$

c) $\frac{x}{x+5} - \frac{2x+5}{2x} = 0$