Cách giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 và Bài tập vận dụng (cực hay) - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm hệ đẳng cấp là gì và nắm vững quy trình giải các hệ đẳng cấp bậc 2, bậc 3 một cách chuẩn xác nhất.

1. Khái niệm hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm hai phương trình hai ẩn mà trong mỗi phương trình, bậc của mỗi hạng tử (số hạng) đối với các ẩn là như nhau.

Dạng tổng quát:

Trong đó, $f$ và $g$ là các hàm số của hai biến $x, y$ mà tất cả các đơn thức cấu thành đều có cùng một bậc.

Ví dụ: Đây là một hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 (vì các số hạng $x^2, xy, y^2$ đều có bậc là 2):

2. Quy trình cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp dạng tổng quát, chúng ta thực hiện theo quy trình 3 bước tối ưu sau đây:

Bước 1: Triệt tiêu hệ số tự do

Nhân phương trình (1) với $a_2$ và phương trình (2) với $a_1$, sau đó trừ hai phương trình cho nhau để vế phải bằng 0. Mục tiêu là tạo ra một phương trình đẳng cấp đồng nhất vế phải bằng 0.

Bước 2: Xét các trường hợp của ẩn

• Trường hợp 1: Xét $x = 0$ (hoặc $y = 0$). Thay trực tiếp vào hệ phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại và kiểm tra xem có thỏa mãn hệ hay không.

• Trường hợp 2: Với $x \neq 0$ (hoặc $y \neq 0$), chia cả hai vế của phương trình vừa thu được ở Bước 1 cho lũy thừa bậc cao nhất của ẩn đó ($x^2$ đối với bậc 2, $x^3$ đối với bậc 3).

Bước 3: Giải phương trình ẩn phụ

Đặt $t = \frac{y}{x}$ (hoặc $t = \frac{x}{y}$) để đưa về phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 theo ẩn $t$.

• Giải tìm $t$, từ đó suy ra mối liên hệ giữa $x$ và $y$ (ví dụ $y = tx$).

• Thế ngược lại vào một trong hai phương trình của hệ ban đầu để tìm nghiệm $(x; y)$ cuối cùng.

3. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

Giải hệ:

Lời giải:

Nhân phương trình (2) với 2 để vế phải cùng bằng 8:

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới vế theo vế, ta được:

• TH1: Với $y = 0$. Thay vào (1) ta có: $2x^2 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Vậy ta có nghiệm: $(2;0)$ và $(-2;0)$.

• TH2: Với $5x = 7y \Rightarrow x = \frac{7y}{5}$. Thay vào (1) ta có:

  $2(\frac{7y}{5})^2 + y \cdot \frac{7y}{5} - 3y^2 = 8 \Leftrightarrow \frac{98y^2}{25} + \frac{7y^2}{5} - 3y^2 = 8$

  $\Leftrightarrow 58y^2 = 200 \Leftrightarrow y^2 = \frac{100}{29} \Leftrightarrow y = \pm \frac{10\sqrt{29}}{29}$.

  Từ đó suy ra $x = \pm \frac{14\sqrt{29}}{29}$.

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 3

Giải hệ:

Lời giải:

Triệt tiêu hệ số tự do bằng cách đưa vế phải về BCNN(9, 6) = 18:

Nhân (1) với 2 và (2) với 3:

Trừ vế với vế, ta thu được: $x^3 - 6xy^2 + 4y^3 = 0 \quad (3)$.

• Xét $y = 0 \Rightarrow x = 0$, không thỏa mãn hệ.

• Chia hai vế của (3) cho $y^3 \neq 0$ và đặt $t = \frac{x}{y}$:

  $t^3 - 6t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 2)(t^2 + 2t - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 2 \\ t = -1 \pm \sqrt{3} \end{array} \right.$

• Với $t = 2 \Rightarrow x = 2y$: Thay vào (1) ta có $8y^3 + y^3 = 9 \Leftrightarrow 9y^3 = 9 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = 2$. Nghiệm $(2;1)$.

• Giải tương tự cho các giá trị $t$ còn lại để tìm các nghiệm lẻ.

4. Bài tập tự luyện chuyên đề hệ đẳng cấp

Để thành thạo kỹ năng này, các bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

1. $\begin{cases} x^3-y^3-8x = 2y \\ x^2-3y^2=6 \end{cases}$

2. $\begin{cases} (x+y)(x-y)^2=3 \\ (x+y)(x^2+y^2)=15 \end{cases}$

3. $\begin{cases} 2x^2y-2y^3-3x=0 \\ x^3+y^3-10y=0 \end{cases}$

4. $\begin{cases} x^2-xy+3y^2=9 \\ 2x^2+xy+4y^2=10 \end{cases}$