Các dạng bài tập toán về Mệnh đề và phương pháp giải - toán lớp 10

 Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại lý thuyết trọng tâm và các dạng bài tập mệnh đề phổ biến nhất.

I. Lý thuyết về Mệnh đề

1. Mệnh đề là gì?

• Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định ĐÚNG hoặc SAI.

• Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định

• Cho mệnh đề $P$, mệnh đề "không phải $P$" gọi là mệnh đề phủ định của $P$, ký hiệu là $\overline{P}$.

• Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

• Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$, mệnh đề "nếu $P$ thì $Q$" gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là $P \Rightarrow Q$.

• Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

• Cho mệnh đề $P \Rightarrow Q$, mệnh đề $Q \Rightarrow P$ gọi là mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$.

• Nếu $P \Rightarrow Q$ đúng thì:

  • $P$ là điều kiện ĐỦ để có $Q$.

  • $Q$ là điều kiện CẦN để có $P$.

4. Mệnh đề tương đương

• Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$, mệnh đề "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$" gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.

• Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ cùng đúng.

• Chú ý: "Tương đương" còn được gọi là "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi".

5. Mệnh đề chứa biến

• Là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập $X$ nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc $X$, ta được một mệnh đề.

6. Các kí hiệu $\forall, \exists$ và mệnh đề phủ định

• Kí hiệu $\forall$: đọc là "với mọi"; $\exists$: đọc là "tồn tại".

• Phủ định của $\forall x \in X, P(x)$ là $\exists x \in X, \overline{P(x)}$.

• Phủ định của $\exists x \in X, P(x)$ là $\forall x \in X, \overline{P(x)}$.

II. Các dạng bài tập toán về Mệnh đề và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa mệnh đề xác định tính đúng sai. Với mệnh đề chứa biến: Tìm tập $D$ của các biến $x$ để $p(x)$ đúng hoặc sai.

Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết đúng hay sai.

• a) Trời hôm nay đẹp quá! $\rightarrow$ Không là mệnh đề (Câu cảm thán).

• b) Phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ vô nghiệm. $\rightarrow$ Mệnh đề SAI (vì $\Delta = 5 > 0$).

• c) 15 không là số nguyên tố. $\rightarrow$ Mệnh đề ĐÚNG.

• d) Hai phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ và $x^2 - \sqrt{x+3} + 1 = 0$ có nghiệm chung. $\rightarrow$ Mệnh đề ĐÚNG.

• e) Số $\pi$ có lớn hơn 3 hay không? $\rightarrow$ Không là mệnh đề (Câu hỏi).

• f) Italia vô địch Worldcup 2006. $\rightarrow$ Mệnh đề ĐÚNG.

• g) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. $\rightarrow$ Mệnh đề SAI.

• h) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. $\rightarrow$ Mệnh đề ĐÚNG.

Ví dụ 2: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

• a) 2 là số chẵn. $\rightarrow$ Đúng.

• b) 2 là số nguyên tố. $\rightarrow$ Đúng.

• c) 2 là số chính phương. $\rightarrow$ Sai.

Ví dụ 3: Điều chỉnh ký hiệu $\forall$ và $\exists$ để được mệnh đề đúng:

• a) $\forall x \in \mathbb{R}: 2x + 5 = 0 \rightarrow$ Sửa: $\exists x \in \mathbb{R}: 2x + 5 = 0$.

• b) $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 - 12 = 0 \rightarrow$ Sửa: $\exists x \in \mathbb{R}: x^2 - 12 = 0$.

Dạng 2: Các phép toán về mệnh đề - phủ định mệnh đề

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các phép toán: $\overline{A \wedge B} \Leftrightarrow \overline{A} \vee \overline{B}$; $\overline{A \vee B} \Leftrightarrow \overline{A} \wedge \overline{B}$; $\overline{\forall} \Leftrightarrow \exists$; $\overline{\exists} \Leftrightarrow \forall$.

Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai:

• $P$: "Hình thoi có hai đường chéo vuông góc". $\rightarrow \overline{P}$: "Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc"; SAI.

• $Q$: "66 là số nguyên tố". $\rightarrow \overline{Q}$: "66 không phải là số nguyên tố"; ĐÚNG.

• $R$: "Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại". $\rightarrow \overline{R}$: "Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại"; SAI.

• $S$: "$3 > -2$". $\rightarrow \overline{S}$: "$3 \leq -2$"; SAI.

• $K$: "Phương trình $x^4 - 2x^2 + 2 = 0$ có nghiệm". $\rightarrow \overline{K}$: "Phương trình $x^4 - 2x^2 + 2 = 0$ vô nghiệm"; ĐÚNG (vì $x^4 - 2x^2 + 2 = (x^2-1)^2 + 1 > 0$).

• $H$: $(\sqrt{5} - \sqrt{125})^2 = 5$. $\rightarrow \overline{H}$: $(\sqrt{5} - \sqrt{125})^2 \neq 5$; ĐÚNG (vì vế trái bằng 80).

Ví dụ 2: Phủ định của các mệnh đề sau:

• $A$: "n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6". $\rightarrow \overline{A}$: "n không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 thì n không chia hết cho 6".

• $B$: "$\Delta ABC$ vuông cân tại A". $\rightarrow \overline{B}$: "$\Delta ABC$ không vuông cân tại A $\Leftrightarrow \Delta ABC$ không vuông hoặc không cân tại A".

• $C$: "$\sqrt{2}$ là số thực". $\rightarrow \overline{C}: \sqrt{2} \notin \mathbb{R}$.

Ví dụ 3: Phủ định các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai:

• $P: \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2 > 0$. $\rightarrow \overline{P}: \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2 \leq 0$; SAI.

• $Q: \exists x \in \mathbb{R}, x^3 + x^2 + x + 2 \neq 0$. $\rightarrow \overline{Q}: \forall x \in \mathbb{R}, x^3 + x^2 + x + 2 = 0$; SAI.

• $R: \forall A, \forall B, A \cap B \subset A$. $\rightarrow \overline{R}: \exists A, \exists B, A \cap B \not\subset A$; SAI.

Dạng 3: Các phép toán về mệnh đề - mệnh đề kéo theo, tương đương

Ví dụ 1: Phát biểu $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo, xét tính đúng sai:

• a) $P \Rightarrow Q$: "Tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" (ĐÚNG). Đảo $Q \Rightarrow P$: "Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình thoi" (SAI).

• b) $P \Rightarrow Q$: "Nếu $2 > 9$ thì $4 < 3$" (ĐÚNG). Đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu $4 < 3$ thì $2 > 9$" (ĐÚNG).

• c) $P \Rightarrow Q$: "Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì $\widehat{A} = 2\widehat{B}$" (ĐÚNG). Đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tam giác ABC có $\widehat{A} = 2\widehat{B}$ thì ABC là tam giác vuông cân tại A" (SAI).

Ví dụ 2: Phát biểu $P \Leftrightarrow Q$ và xét tính đúng sai:

• a) $P \Leftrightarrow Q$: "Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau" (ĐÚNG).

• b) $P \Leftrightarrow Q$: "Bất phương trình $\sqrt{x^2 - 3x} > 1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\sqrt{(-1)^2 - 3(-1)} > 1$" (ĐÚNG).

Dạng 4: Phương pháp chứng minh bằng phản chứng

Ví dụ 1: Chứng minh "$n^2$ chẵn $\Rightarrow n$ chẵn".

• Hướng dẫn: Giả sử $n$ lẻ $\Rightarrow n = 2p + 1 \Rightarrow n^2 = (2p+1)^2 = 4p^2 + 4p + 1 = 2(2p^2 + 2p) + 1 \Rightarrow n^2$ lẻ (trái giả thiết). Vậy $n$ chẵn.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: $\forall a, b > 0, \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$.

• Hướng dẫn: Giả sử $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2 \Rightarrow \frac{a^2 + b^2}{ab} < 2 \Rightarrow a^2 + b^2 < 2ab \Rightarrow (a-b)^2 < 0$ (Vô lý). Vậy $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$.

III. Bài tập về Mệnh đề (có lời giải)

Bài 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

• a) $3 + 2 = 7$

• b) $4 + x = 3$

• c) $x + y > 1$

• d) $2 - \sqrt{5} < 0$

Lời giải:

• a) $3 + 2 = 7$: Là mệnh đề và là mệnh đề sai (vì $3 + 2 = 5 \neq 7$).

• b) $4 + x = 3$: Là mệnh đề chứa biến (vì với mỗi giá trị của $x$ ta được một mệnh đề). Ví dụ: với $x = 1$ ta có mệnh đề "4 + 1 = 3".

• c) $x + y > 1$: Là mệnh đề chứa biến (vì với mỗi cặp giá trị $x, y$ ta được một mệnh đề). Ví dụ: $x = 0, y = 1$ có mệnh đề "0 + 1 > 1".

• d) $2 - \sqrt{5} < 0$: Là mệnh đề và là mệnh đề đúng (vì $2 = \sqrt{4}$ và $\sqrt{4} < \sqrt{5}$).

Bài 2: Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó:

• a) 1794 chia hết cho 3.

• b) $\sqrt{2}$ là một số hữu tỉ.

• c) $\pi < 3,15$.

• d) $|-125| \leq 0$.

Lời giải:

• a) Mệnh đề đúng (vì $1794 : 3 = 598$). Phủ định: "1794 không chia hết cho 3".

• b) Mệnh đề sai (vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ). Phủ định: "$\sqrt{2}$ không phải là một số hữu tỉ".

• c) Mệnh đề đúng (vì $\pi \approx 3,14159...$). Phủ định: "$\pi \geq 3,15$".

• d) Mệnh đề sai (vì $|-125| = 125 > 0$). Phủ định: "$|-125| > 0$".

Bài 3: Cho các mệnh đề kéo theo sau, hãy phát biểu mệnh đề đảo và sử dụng khái niệm "điều kiện đủ", "điều kiện cần":

1. Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

2. Các số nguyên tố có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.

3. Một tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.

4. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

Bài 4: Phát biểu mỗi mệnh đề sau bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ":

• a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại

• b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. 

• c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

Lời giải:

• a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

• b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.

• c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.

Bài 5: Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:

• a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.

• b) Có một số cộng với chính nó bằng 0.

• c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.

Lời giải:

• a) $\forall x \in \mathbb{R}: x \cdot 1 = x$

• b) $\exists a \in \mathbb{R}: a + a = 0$

• c) $\forall x \in \mathbb{R}: x + (-x) = 0$

Bài 6: Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai:

• a) $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 > 0$

• b) $\exists n \in \mathbb{N}: n^2 = n$

• c) $\forall n \in \mathbb{N}: n \leq 2n$

• d) $\exists x \in \mathbb{R}: x < 1/x$

Lời giải:

• a) "Bình phương của mọi số thực đều dương". Sai (vì $x = 0$ thì $x^2 = 0$).

• b) "Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó". Đúng ($n = 0, n = 1$).

• c) "Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó". Đúng.

• d) "Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó". Đúng (Ví dụ $x = 0,5 < 1/0,5 = 2$).

Bài 7: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai:

• a) $\forall n \in \mathbb{N}: n$ chia hết cho $n$.

• b) $\exists x \in \mathbb{Q}: x^2 = 2$.

• c) $\forall x \in \mathbb{R}: x < x + 1$.

• d) $\exists x \in \mathbb{R}: 3x = x^2 + 1$.

Lời giải:

• a) $\overline{A}: \exists n \in \mathbb{N}, n$ không chia hết cho $n$. (Đúng khi $n = 0$).

• b) $\overline{B}: \forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \neq 2$. (Đúng vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ).

• c) $\overline{C}: \exists x \in \mathbb{R}, x \geq x + 1$. (Sai vì $x+1$ luôn lớn hơn $x$).

• d) $\overline{D}: \forall x \in \mathbb{R}, 3x \neq x^2 + 1$. (Sai vì phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có nghiệm).