Hotline 0936685849

Bài 2 trang 24 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

18:20:4919/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 2 trang 24 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số phân thức.

Đề bài:

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$

b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$

c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$ , ta sử dụng các quy tắc sau:

Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=-\frac{e}{d}$ là tiệm cận đứng nếu $\lim_{x\to(-\frac{e}{d})^\pm}y=\pm\infty$ . Điều này thường xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y=Ax+B$ là tiệm cận xiên nếu $\lim_{x\to\pm\infty}[y-(Ax+B)]=0$ . Đối với hàm số dạng này, ta có thể tìm tiệm cận xiên bằng cách thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu.

Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc này cho từng hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{x^2+2}{2x-4}$

TXĐ: D = R\{2}

$\lim_{x\rightarrow 2^+}y=\lim_{x\rightarrow 2^+}\frac{x^2+2}{2x-4}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow 2^-}y=\lim_{x\rightarrow 2^-}\frac{x^2+2}{2x-4}=-\infty$

$a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^2+2}{2x^2-4x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{1+\frac{2}{x^2}}{2-\frac{4}{x}}=\frac{1}{2}$

$b=\lim_{x\rightarrow +\infty }(y-ax)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{x^2+2}{2x-4}-\frac{x}{2} \right )$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2x+2}{2x-4} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{2+\frac{2}{x}}{2-\frac{4}{x}} \right )=1$

Vậy đường thẳng x = 2 và $y=\frac{1}{2}x+1$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) $y=\frac{2x^2-3x-6}{x+2}$

TXĐ: D = R\{-2}

$\lim_{x\rightarrow -2^+}y=\lim_{x\rightarrow -2^+}\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -2^-}y=\lim_{x\rightarrow -2^-}\frac{2x^2-3x-6}{x+2}=-\infty$

$a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2-3x-6}{x^2+2x}$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-\frac{3}{x}-\frac{6}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}=2$

$b=\lim_{x\rightarrow +\infty }(y-ax)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{2x^2-3x-6}{x+2}-2x \right )$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-7x-6}{x+2}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-7-\frac{6}{x}}{1+\frac{2}{x}}=-7$

Vậy đường thẳng x = -2 và y = 2x - 7 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) $y=\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}$

TXĐ: D = R\{-5/2}

$\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}^+}y=\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}^+}\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}^-}y=\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}^-}\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}=-\infty$

$a=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{y}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2+9x+11}{2x^2+5x}$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2+\frac{9}{x}+\frac{11}{x}}{2+\frac{5}{x}}=1$

$b=\lim_{x\rightarrow +\infty }(y-ax)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{2x^2+9x+11}{2x+5}-x \right )$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4x+11}{2x+5} =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{4+\frac{11}{x}}{2+\frac{5}{x}}=2$

Vậy đường thẳng x = -5/2 và y = x + 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số phân thức. Việc nắm vững các quy tắc xét giới hạn và kỹ năng chia đa thức là chìa khóa để giải quyết các bài toán khảo sát hàm số một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 24 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:...

Bài 3 trang 24 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:..

Bài 4 trang 25 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức...

Bài 5 trang 25 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt m = m(v)...