Bài 1.25 trang 32 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.25 trang 32 Toán 12:

Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là x (Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết: 

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Từ công thức vật lý $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ hay $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$, với $R_1=8\;\Omega$ và $R_2=x\;\Omega$, ta sẽ tìm được hàm số biểu thị điện trở tương đương R theo x.

$\frac{1}{R}=\frac{1}{8}+\frac{1}{x}=\frac{x+8}{8x}$ $\implies R(x)=\frac{8x}{x+8}$.

Bài toán có ba yêu cầu chính:

1. Vẽ đồ thị hàm số y = R(x): Chúng ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên miền xác định x > 0 và vẽ đồ thị.

2. Phân tích sự thay đổi của R(x): Dựa vào đồ thị đã vẽ hoặc đạo hàm của hàm số để nhận xét.

3. Giải thích giới hạn của R(x): Dựa vào khái niệm tiệm cận ngang để giải thích.

Lời giải chi tiết:

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở x (Ω) thì điện trở tương đương của mạch là:

$R(x)=\frac{8x}{x+8}(\Omega )$

Vẽ đồ thị hàm số $ y= R(x)=\frac{8x}{x+8},\: x>0)$

1. Tập xác địn: D = (0; +∞)

2. Sự biến thiên:

$R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\: \forall x>0)$

Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

$\lim_{x\rightarrow +\infty }R(x)$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{8x}{x+8}=8$

Nên y = 8 là tiệm cận ngang của hàm số 

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0)

Đồ thị hàm số $y= R(x)=\frac{8x}{x+8},\: x>0)$ đi qua các điểm (8; 4); (12; 24/5)

a) Vì $R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\: \forall x>0)$

Nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch tăng.

b) $R'(x)=\frac{64}{(x+8)^2}>0,\: \forall x>0)$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }R(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{8x}{x+8}=8$

Nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.