Toán 12 - Ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Sau khi đọc xong bài viết này, bạn chắc chắn sẽ hiểu rõ làm thế nào để có thể khảo sát hàm số bậc 3, hàm bậc 4 (trùng phương), hàm hữu tỉ hay một hàm số bất kỳ.

I. Một số kiến thức cần nhớ về Hàm số

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

_ Hàm f(x) đồng biến trên (a,b) ⇔ f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a,b)

_ Hàm f(x) nghịch biến trên (a,b) ⇔ f'(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a,b)

2. Cực đại và cực tiểu của hàm số.

* Qui tắc 1:

+ Tìm tập xác định D.

+ Tính f’(x). Tìm các điểm x_i Î D (i =1,2,…) tại đó đạo hàm f’(x)  = 0 hoặc f’(x) không xác định .

+ Lập bảng xét dấu của f’(x)

+ Kết luận: Nếu f’(x) đổi dấu từ (+) sang (-) khi x qua x₀ thì x₀ là điểm  cực đại và ngược lại thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số

* Qui tắc 2:

+ Tìm tập xác định D.

+ Tìm f’(x). Giải phương trình f’(x)=0, tìm các nghiệm x_i (i =1,2,…).

+ Tim  f’’(x) và tính f’’(x_i).

+ Kết luận:

- Nếu f’’(x_i) < 0 thì x_i là điểm cực đại

- Nếu f’’(x_i) > 0 thì x_i là điểm cực tiểu.

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

a) Tìm GTLN và GTNN trên [a,b]:

+ Bước 1: Tìm các điểm x₁,x₂,…x_n  tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định trên [a,b].

+ Bước 2: Tính f(a), f(x₁),f(x₂),…f(x_n), f(b).

+ Bước 3: GTLN là số lớn nhất M và GTNN là số nhỏ nhất m trong các số trên.

b) Tìm GTLN và GTNN trên (a; b), [a; b), (a; b]: Ta cần lập bảng biến thiên

4. Tiệm cận của đồ thị hàm số:

5. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.

* Các bước khảo sát hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định D

- Bước 2: Sự biến thiên.

+ Tính y’. y'=0; xét dấu y’ tìm khoảng tăng, giảm.

+ Kết luận cực trị.

+ Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên

- Bước 3: Tìm 1 vài điểm của hàm số và vẽ đồ thị

II. Áp dụng khảo sát hàm số vô tỉ, hữu tỉ

* Áp dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3: y=x³+3x²−4

Bước 1: Tập xác định: D = R

Bước 2: Sự biến thiên

- Có: y′=3x²+6x; cho y’ = 0 <=> y′=3x²+6x = 0 <=> x=0 hoặc x=−2

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y_CD = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT=y(0) = -4

- Giới hạn của hàm số tại vô cực:

– Lập bảng biến thiên

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Ox: y=0  <=> x³+3x²-4=0 <=> (x-1)(x+2)²=0 <=> x=1 hoặc x=-2

* Lưu ý: hàm số bậc 3 trong các bài toán khảo sát thường có nghiệm đặc biệt x=1,-1,0,... sau đó chia đa thức để đưa về dạng tích các đa thức như trên.

Vậy (1,0) và (-2,0) là giao điểm của đồ thị với trục Ox

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 <=> y=-4. Vậy (0,-4) là giao của đồ thị với Oy

Ta có bảng giá trị: 

- Tìm điểm uốn y''=6x+6=0 <=> x=-1 thay vào hàm số được y=-2;

Vậy điểm uốn là U(-1,-2)

Đồ thị (C)

- Áp dụng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 4: y=x⁴-2x²−3

Bước 1: Tập xác định D = R

Bước 2: Sự biến thiên

y’ = 4x³ - 4x
y’ = 0 <=> 4x³ - 4x = 0 <=> x(4x² – 4) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = - 1

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CD = y(0) = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1; y_CT=y(-1) = -4

Giới hạn:

Lập bảng biến thiên:

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:x = √3; y = 0; x = -√3; y = 0

Giao điểm với Oy: x = 0 ; y = - 3

Bảng giá trị:

- Tìm điểm uốn y''=12x² - 4=0 <=> x=-1/√3 hoặc x = 1/√3;

Vậy điểm uốn là U₁(-1/√3,-32/9) và U₁(1/√3,-32/9)

Đồ thị:

- Áp dụng khảo sát hàm hữu tỉ bậc nhất: y=(ax+b)/(cd+d)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (2x - 1)(x - 1)

Bước 1: Hàm số có tập xác định là R∖{1}

Bước 2: Sự biến thiên của hàm số 

y’ = -1/(x-1)² <0 với mọi x ≠1

Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;-∞) và (+∞; 2)

Giới hạn: giới hạn vô cực và các tiệm cận ta có

=> x=1 là tiệm cận đứng

=> y=2 là tiệm cận ngang

Lập bảng biến thiên:

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thì hàm số

Giao Ox: y=0 thì x = -1/2

Giao Oy: x=0 thì y = 2

Đồ thị:

- Áp dụng khảo sát hàm hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1: y=(ax² + bx + c)/(a'x + b') (với a, a' khác 0)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y=(x² − 2x − 3)/(x−2)

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: y= x - 3/(x-2)

Bước 1: Tập xác định của hàm số: x ≠ 2 hay R∖{2}

Bước 2:  Sự biến thiên của hàm số 

y’ = 1+ 3/(x-2)² >0 với mọi x ≠2

Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 2) và (2 ;+∞)

Giới hạn: giới hạn vô cực và các tiệm cận ta có

=> x=2 là tiệm cận đứng

=> y=x là tiệm cận xiên

Lập bảng biến thiên:

Bước 3: Tìm 1 số điểm để vẽ đồ thị

Giao Ox: y=1 thì x = -1 hoặc x = 3

Giao Oy: x=0 thì y = 3/2

Đồ thị: