Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều? Hỏi đáp Toán 12

Nếu các em chưa biết cách Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều như nào? hay cách tìm m để hàm bậc 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác đều? thì nội dung bài viết này chính là dành cho các em.

1. Điều kiện để hàm bậc 4 (trùng phương) có 3 cực trị tạo thành tam giác đều

Xét hàm số bậc 4 (trùng phương) có dạng: y = ax⁴ + bx² + c với (a ≠ 0)

Khi đó ta có y’ = 4ax³ + 2bx

Xét y’ = 0 ⇔ 2x(2ax² + b) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = –b/2a  (*)

Khi đó để hàm số y = ax⁴ + bx² + c có 3 điểm cực trị

⇔ phương trình (*) sẽ có 2 nghiệm phân biệt và khác 0 ⇔ ab < 0.

3 điểm cực trị của hàm bậc 4 trùng phương luôn tạo thành tam giác cân (giả sử cân tại A).

Để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều thì: 

2. Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều

* Ví dụ: Cho hàm số bậc 4 (hàm trùng phương): y = f(x) = x⁴ – 2mx² + 2m + m⁴

Tìm m để 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều

* Lời giải:

Xét hàm số: y = f(x) = x⁴ – 2mx² + 2m + m⁴

Ta có: f'(x) = 4x³ – 4mx, ∀x ∈ R

Xét f'(x) = 0 ⇔ 4x³ – 4mx = 0 

⇔  x(x² – m) = 0 

⇔  x = 0 hoặc x² – m = 0  (*)

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*): x² – m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0.

Khi đó, gọi ; A(0; 2m + m⁴);  là toạ độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 4.

Yêu cầu bài toán tam giác ABC đều khi và chỉ khi: 

(Lưu ý rằng 3 điểm cực trị của hàm bậc 4 luôn tạo thành tam giác cân, để tam giác là đều chỉ cần cạnh bên bằng cạnh đáy)

Mà  và 

Vậy ta có: m + m⁴ = 4m

⇔ m⁴ = 3m ⇔ m³ = 3 (vì m > 0)

Vậy mới  thì hàm số bậc 4 đã cho có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều.