Giải bài 5 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi u_n là số dân của tỉnh đó sau n năm. Giải sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Vì tỉ lệ tăng dân số là không đổi $r = 1\%$, số dân năm sau bằng số dân năm trước nhân với hệ số $q = 1 + r = 1 + 1\% = 1,01$. Dãy số $\left(u_n\right)$ biểu thị số dân sau $n$ năm (kể từ năm 2020) là một cấp số nhân với công bội $q = 1,01$.

• Lưu ý ký hiệu: Gọi $P_0$ là số dân năm 2020. Nếu $u_n$ là số dân sau $n$ năm (tức là $u_1$ là số dân sau 1 năm), thì $u_n$ là số hạng thứ $n+1$ của dãy số tính từ $P_0$.

  • $u_0 = P_0$ (năm 2020)

  • $u_n = P_0 \cdot q^n$ (sau $n$ năm)

Ta sẽ sử dụng ký hiệu $u_n$ là số dân sau $n$ năm (tính từ năm 2020).

Lời giải chi tiết:

a) Công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.

Ta có dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u₀ = 2 triệu dân và công sai q = 1%.

Khi đó số hạng tổng quát của u_n = 2.(1 + 1%)^n-1 (triệu dân).

b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u₁₀ = 2.(1 + 1%)^10-1 ≈ 2,19 (triệu dân).