Hotline 0936685849

Giải bài 4 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

18:26:3011/06/2023

Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm công bội $q$ của một cấp số nhân $\left(u_n\right)$ khi biết số hạng đầu $u_1$ và một số hạng khác $u_3$ . Sau đó, ta sẽ viết các số hạng đầu và tính tổng 10 số hạng đầu của dãy số.

Đề bài:

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3, u₃ = 27/4

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Tìm công bội $q$ : Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ . Với $n=3$ , ta có $u_3 = u_1 \cdot q^2$ . Giải phương trình này để tìm $q$ . Vì $q^2$ có thể cho hai giá trị, ta sẽ có hai trường hợp của cấp số nhân.
Viết số hạng: Áp dụng công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ cho $n = 1, 2, 3, 4, 5$ .
Tính tổng $S_{10}$ : Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ (với $q \ne 1$ ).

Lời giải chi tiết:

a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Ta có u₃ = u₁.q²

$\dpi{100} \small \Rightarrow q^2=\frac{u_3}{u_1}=\frac{\frac{27}{4}}{3}=\frac{9}{4}\Rightarrow \left \[\begin{matrix} q=-3/2\\ q=3/2 \end{matrix} \right.$

• Với $\small q=-\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

$\small u_1=3$

$\small u_2=3.\left ( -\frac{3}{2} \right )=-\frac{9}{2}$

$\dpi{100} \small u_3=3.\left ( -\frac{3}{2} \right )^2=\frac{27}{4}$

$\dpi{100} \small u_4=3.\left ( -\frac{3}{2} \right )^3=-\frac{81}{8}$

$\dpi{100} \small u_5=3.\left ( -\frac{3}{2} \right )^4=\frac{243}{16}$

• Với $\dpi{100} \small q=\frac{3}{2}$ ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

$\small u_1=3$

$\dpi{100} \small u_2=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

$\dpi{100} \small u_3=3.\left (\frac{3}{2} \right )^2=\frac{27}{4}$

$\dpi{100} \small u_4=3.\left ( \frac{3}{2} \right )^3=\frac{81}{8}$

$\dpi{100} \small u_5=3.\left ( \frac{3}{2} \right )^4=\frac{243}{16}$

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Áp dụng công thức tính toongrn số hạng đầu của cấp số nhân: $\small S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

• Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội $\dpi{100} \small q=\frac{3}{2}$ là:

$S_{10}=\frac{3.\left ( 1-\left (\frac{3}{2} \right )^{10} \right )}{1-\frac{3}{2}}\approx 340$

• Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội $\small q=-\frac{3}{2}$ là:

$S_{10}=\frac{3.\left ( 1-\left (-\frac{3}{2} \right )^{10} \right )}{1-\left (-\frac{3}{2} \right )}\approx -68$

Từ $u_1 = 3$ và $u_3 = \frac{27}{4}$ , ta giải được hai giá trị công bội là $\mathbf{q = \frac{3}{2}}$ hoặc $\mathbf{q = -\frac{3}{2}}$ .

Trường hợp $\mathbf{q = \frac{3}{2}}$ : Năm số hạng đầu là $3, \frac{9}{2}, \frac{27}{4}, \frac{81}{8}, \frac{243}{16}$ . Tổng 10 số hạng đầu là $\mathbf{S_{10} = \frac{174075}{512}}$ .
Trường hợp $\mathbf{q = -\frac{3}{2}}$ : Năm số hạng đầu là $3, -\frac{9}{2}, \frac{27}{4}, -\frac{81}{8}, \frac{243}{16}$ . Tổng 10 số hạng đầu là ${S_{10} = -\frac{34815}{512}}\approx -68$.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a) 5; –0,5; 0,05;...

Bài 2 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Chứng minh mỗi dãy số (u_n) với mỗi số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:...

Bài 3 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = – 5, công bội q = 2. a) Tìm u_n;...

Bài 5 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm...

Bài 6 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau...

Bài 7 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy...