Cách giải Bất phương trình chứa căn và Bài tập vận dụng - Toán 10 chuyên đề

Nếu đã nắm vững cách giải phương trình chứa căn, việc chuyển sang giải bất phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn nếu các em tuân thủ đúng các công thức biến đổi tương đương sau đây.

I. Công thức giải Bất phương trình chứa căn bậc hai

Để giải quyết dạng toán này một cách chính xác, các em cần ghi nhớ và áp dụng đúng hai nhóm công thức biến đổi tương đương sau:

1. Dạng căn thức nhỏ hơn một biểu thức

Đây là dạng bài yêu cầu biểu thức bên ngoài căn phải không âm để bất phương trình có thể có nghiệm thực.

• Công thức 1a:

  $$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g^2(x) \end{cases}$$

• Công thức 1b (có dấu bằng):

  $$\sqrt{f(x)} \leq g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) \leq g^2(x) \end{cases}$$

2. Dạng căn thức lớn hơn một biểu thức

Dạng này phức tạp hơn vì ta phải chia làm hai trường hợp dựa trên dấu của biểu thức $g(x)$.

• Công thức 2a:

  $$\sqrt{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) > g^2(x) \end{cases} \end{aligned} \right.$$

• Công thức 2b (có dấu bằng):

  $$\sqrt{f(x)} \geq g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq g^2(x) \end{cases} \end{aligned} \right.$$

II. Bài tập vận dụng giải Bất phương trình chứa căn

Bài tập 1: Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+\frac{17}{4}} > x+\frac{1}{2}$

Lời giải:

Bất phương trình có dạng $\sqrt{f(x)} > g(x)$. Vì $x^2 + \frac{17}{4} > 0$ với mọi $x$, nên bất phương trình xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

• Trường hợp 1: $x + \frac{1}{2} < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{1}{2}$.

  Khi vế phải âm và vế trái không âm, bất phương trình luôn đúng với mọi $x < -\frac{1}{2}$.

• Trường hợp 2: $x + \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{1}{2}$.

  Khi đó hai vế đều không âm, ta bình phương hai vế:

  $$x^2 + \frac{17}{4} > (x + \frac{1}{2})^2 \Leftrightarrow x^2 + \frac{17}{4} > x^2 + x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x < 4$$

  Kết hợp điều kiện trường hợp 2: $-\frac{1}{2} \leq x < 4$.

Kết luận: Hợp nhất hai trường hợp, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (-\infty; 4)$.

Bài tập 2: Giải bất phương trình $\sqrt{2(x^2-1)} \leq x+1 \quad (*)$

Lời giải:

Bất phương trình có dạng $\sqrt{f(x)} \leq g(x)$.

• Điều kiện xác định: $2(x^2 - 1) \geq 0 \Leftrightarrow x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1$ hoặc $x \geq 1$.

• Áp dụng công thức:

  $$(*) \Leftrightarrow \begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 2(x^2 - 1) \leq (x+1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ 2x^2 - 2 \leq x^2 + 2x + 1 \end{cases}$$
  $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ x^2 - 2x - 3 \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ -1 \leq x \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 3$$

• Kết hợp điều kiện xác định:

  Ta có hệ: $\begin{cases} -1 \leq x \leq 3 \\ x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \end{cases}$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \{-1\} \cup [1; 3]$.