Cách giải Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và Bài tập vận dụng - Toán 10 chuyên đề

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết quy trình giải và cung cấp hệ thống bài tập minh họa giúp các em làm chủ kiến thức.

I. Cách giải Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải các bất phương trình dạng:

Trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là tích các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định ($Q(x) \neq 0$). Tìm tất cả các nghiệm của $P(x) = 0$ và $Q(x) = 0$.

• Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu cho phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$.

  • Lưu ý: Tại các giá trị làm mẫu thức $Q(x) = 0$, ta sử dụng ký hiệu "$||$" để chỉ ra rằng hàm số không xác định tại điểm đó.

• Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và dấu của bất phương trình đề bài yêu cầu để kết luận tập nghiệm.

II. Bài tập giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu minh họa

Bài tập 1: Giải các bất phương trình cơ bản

a) $\frac{2}{x-1} \leq \frac{5}{2x-1}$

• Điều kiện xác định: $x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{2}$.

• Biến đổi: $\frac{2}{x-1} - \frac{5}{2x-1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2(2x-1) - 5(x-1)}{(x-1)(2x-1)} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{-x+3}{(x-1)(2x-1)} \leq 0$.

• Nghiệm: $-x+3 = 0 \Leftrightarrow x=3$; $x-1=0 \Leftrightarrow x=1$; $2x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.

• Bảng xét dấu: 

Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình:

Kết luận: Tập nghiệm $S = \left( \frac{1}{2}; 1 \right) \cup [3; +\infty)$.

b) $\frac{1}{x+1} \leq \frac{1}{(x-1)^2}$

• Điều kiện: $x \neq -1, x \neq 1$.

• Biến đổi: $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x-1)^2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(x-1)^2 - (x+1)}{(x+1)(x-1)^2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-1)^2} \leq 0$.

• Nghiệm: $x=0, x=3, x=-1, x=1$.

• Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình:

Kết luận: Tập nghiệm $S = (-\infty; -1) \cup [0; 1) \cup (1; 3]$.

Bài tập 2: Bài toán quy đồng và rút gọn

a) $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+4} < \frac{3}{x+3}$

• Điều kiện: $x \neq 0, x \neq -4, x \neq -3$.

• Biến đổi: Sau khi chuyển vế và quy đồng mẫu thức chung $x(x+4)(x+3)$, ta được:

  $\frac{x+12}{x(x+4)(x+3)} < 0$.

• Bảng xét dấu:

Kết luận: Tập nghiệm $S = (-12; -4) \cup (-3; 0)$.

b) $\frac{x^2-3x+1}{x^2-1} < 1$

• Điều kiện: $x \neq \pm 1$.

• Biến đổi: $\frac{x^2-3x+1}{x^2-1} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)} < 0$.

• Bảng xét dấu:

Kết luận: Tập nghiệm $S = \left( -1; \frac{2}{3} \right) \cup (1; +\infty)$.