Các dạng bài tập viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Toán lớp 12

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có một số dạng toán mà chúng ta thường gặp như: Viết phương trình tiếp tiếp tại 1 điểm (tiếp điểm); Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm; Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k,...

I. Lý thuyết cần nhớ để viết phương trình tiếp tuyến

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 

- Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số tai điểm $M\left(x_0;y_0\right)$

- Khi đó phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$là: $y=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$

- Nguyên tắc chung để viết được phương trình tiếp tuyến (PTTT) là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm ${\mathrm{x0.}}^{}$

${\mathrm{II.\; Các\; dạng\; toán\; viết\; phương\; trình\; tiếp\; tuyến}}^{}$

° Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến TẠI 1 ĐIỂM (biết Tiếp Điểm)

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

${\mathrm{-\; Bài\; toán:\; Giả\; sử\; cần\; viết\; PTTT\; của\; đồ\; thị\; (C):\; y=f(x)\; tại\; điểm\; M(x0;y0)}}^{}$

${\mathrm{+\; Bước\; 1:\; Tính\; đạo\; hàm\; y\text{'}=f\text{'}(x) \Rightarrow \; hệ\; số\; góc\; của\; tiếp\; tuyến\; k=y\text{'}(x0)}}^{}$

${\mathrm{+\; Bước\; 2:\; PTTT\; của\; đồ\; thị\; tại\; điểm\; M(x0;y0)\; có\; dạng:\; y=y\text{'}(x0)(x-x0)+y0}}^{}$

${\mathrm{* Lưu\; ý,\; một\; số\; bài\; toán\; đưa\; về\; dạng\; này\; như:}}^{}$

- Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm x₀) thì tìm y₀ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: y₀=f(x₀)

- Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm y₀) thì tìm x₀ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức là: f(x₀)=y₀

- Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y=f(x) và đường đường thẳng (d): y=ax+b. Khi đó, các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C).

- Trục hoành Ox: y=0; trục tung Oy: x=0.

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x³+2x² tại điểm M(-1;1)

° Lời giải:

- Ta có: y'=3x² + 4x nên suy ra y'(x₀) = y'(-1) = 3.(-1)² + 4.(-1) = -1

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;1) là:

 y = y'(x₀)(x - x₀) + y(x₀) ⇔ y = (-1).(x - (-1)) + 1 = -x

- Vậy PTTT của (C) tại điểm M(-1;1) là: y = -x.

* Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị (C):  và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

° Lời giải:

- Ta có: x₀ = -1 ⇒ y₀ = y(-1) = 1/2.

- Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M của (C) là:

* Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y =x⁴ - 2x².

* Lời giải:

- Ta có y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

- Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành (Ox) là:

- Như vậy, giờ bài toán trở thành viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị thàm số tại 1 điểm.

- Với x₀ = 0 ⇒ y₀ = 0 và k = y'(x₀) = 0 

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

- Với  và  

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

- Với  và

 ⇒ Phương trình tiếp tuyết tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = -4√2 là:

- Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

 y = 0; y = 4√2x - 8 và y = -4√2x - 8

° Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ĐI QUA 1 ĐIỂM

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

- Bài toán: Giả sử cần viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A;y_A)

* Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị

+ Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A;y_A) có hệ số góc k có dạng:

 d: y=k(x-x_A)+y_A (*)

+ Bước 2: Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

+ Bước 3: Giải hệ trên, tìm được x từ đó tìm được k và thế vào phương trình (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Cách 2: Sử dụng PTTT tại 1 điểm

+ Bước 1: Gọi M(x₀;f(x₀)) là tiếp điểm, tính hệ số góc tiếp tuyến k=f'(x₀) theo x₀.

+ Bước 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀) (**)

 Vì điểm A(x_A;y_A) ∈ (d) nên y_A=f'(x₀)(x_A-x₀)+f(x₀) giải phương trình này tìm được x₀.

+ Bước 3: Thay x₀ tìm được vào phương trình (**) ta được PTTT cần viết.

* Ví dụ 1: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1;2).

° Lời giải:

- Ta có: y' = -12x² + 3

- Đường thẳng d đi qua A(-1;2) có hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + 2

- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

 ⇔ x = -1 hoặc x = 1/2.

• Với x = -1 ⇒ k = -12.(-1)² + 3 = -9. Phương trình tiếp tuyến là: y = -9x - 7

• Với x = 1/2 ⇒ k = -12.(1/2)² + 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y = 2

• Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2) là: y = -9x - 7 và y = 2.

* Ví dụ 2: Viết Phương trình tiếp tuyến của (C):  đi qua điểm A(-1;4).

° Lời giải:

- Điều kiện: x≠-1;

Ta có: 

- Đường thẳng (d) đi qua A(-1;4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4

- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

- Từ hệ trên thay k ở phương trình dưới vào phương trình trên ta được:

- Ta thấy x = -1 (loại), x = -4 (nhận)

- Với x = -4 ta suy ra

  phương trình tiếp tuyến là: 

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết Hệ số góc k

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

- Bài toán: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Viết PTTT của (d) với đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

+ Bước 1: Gọi M(x₀;y₀) là tiếp điểm và tính y'=f'(x)

+ Bước 2: Khi đó,

  - Hệ số góc của tiếp tuyến là: k=f'(x₀)

  - Giải phương trình k=f'(x₀) này ta tìm được x₀, từ đó tìm được y₀.

+ Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta viết được phương trình tiếp tuyến tương ứng:

 (d): y=y'₀(x-x₀)+y₀

* Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng, ví dụ, d//Δ: y=ax+b ⇒k=a. Sau khi lập được PTTT thì cần kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng Δ hay không? nếu trùng thì loại kết quả đó.

• Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng, ví dụ, d⊥Δ: y=ax+b ⇒k.a=-1 ⇒k=-1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành 1 góc α thì k=±tanα.

* Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y=ax+b một góc α, khi đó:

* Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x³ - 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

° Lời giải:

- Ta có: y' = 3x² - 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x₀;y₀)

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y'(x₀) 

 ⇔ 

- Với x₀ = 2 ⇒ y₀ = (2)³ - 3.(2) + 2 = 4 ta có tiếp điểm M₁(2;4)

 Phương trình tiếp tuyến tại M₁ là d₁:

- Với x₀ = -2 ⇒ y₀ = (-2)³ - 3.(-2) + 2 = 0 ta có tiếp điểm M₂(-2;0)

 Phương trình tiếp tuyến tại M₂ là d₂:

- Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là:

 (d₁): y = 9x - 14 và (d₂): y = 9x + 18.

* Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):  song sóng với đường thẳng Δ: 3x - y + 2 = 0.

° Lời giải:

- Ta có: ; và 

- Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x₀;y₀), khi đó hệ số góc của tiếp tuyến là:

- Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 3x + 2 nên ta có:

• Với x₀ = -1 thì  ta có tiếp điểm M₁(-1;-1)

- Phương trình tiếp tuyến tại M₁ là (d₁): y = 3(x + 1) - 1 ⇔ y = 3x + 2

 Đối chiếu với phương trình đường Δ ta thấy d₁≡Δ nên loại.

• Với x₀ = -3 thì  ta có tiếp điểm M₂(-3;5)

- Phương trình tiếp tuyến tại M₂ là (d₂): y = 3(x + 3) + 5 ⇔ y = 3x + 14

• Vậy đồ thị (C) có 1 tiếp tuyến // với Δ là (d₂): y = 3x + 14

* Ví dụ 3: Cho hàm số (C): y = -x⁴ - x² + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (Δ):

* Lời giải:

- Gọi đườn thẳng (d) có hệ số góc k là tiếp tuyến của (C) vuông góc với (Δ) có dạng: y = kx + b

- Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng (Δ):  nên suy ra k = -6; khi đó pttt (d) có dạng: y = -6x + b.

- Để (d) tiếp xúc với (C) thì hệ sau phải có nghiệm:

⇒ phương trình tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với (Δ) là: y = -6x + 10.

* Cách giải khác:

- Ta có hệ số góc của tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) là y' = -4x³ - 2x.

- Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với (Δ):  nên:

  (vì 2x² + 2x + 3 > 0, ∀x).

- Với x = 1 suy ra y = -1⁴ - 1² + 6 = 4 và y'(1) = -4.1³ - 2.1 = -6.

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;4) là: y = -6(x - 1) + 4 = -6x + 10.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến có chứa tham số m

${\mathrm{*\; Phương\; pháp:}}^{}$

- Vận dụng phương pháp giải một trong các dạng toán ở trên sau đó giải và biện luận để tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu bài toán.

* Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ - 3x² có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m² - 4)x + 2m - 1.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 3x² - 6x

- Điểm M có hoành độ x₀ = 1 ⇒ . Vậy điểm tọa độ điểm M(1;-2)

- Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(1;-2) của (C) có dạng:

 y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀) ⇔ y + 2 = (3.1² - 6.1)(x - 1) ⇔ y = -3x + 1

- Khi đó để (d) // Δ

- Khi đó pt đường thẳng Δ: y = -3x + 3

- Vậy, với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại M(1;-2) song sóng với Δ.

* Ví dụ 2: Cho hàm số y = x⁴ - 2(m + 1)x² + m + 2 có đồ thị (C). Gọi A là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng Δ: x - 4y + 1 = 0.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 4x³ - 4(m+1)x

- Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm A,

 khi đó hệ số góc của (d) là: k = y'(1) = 4 - 4(m + 1) = -4m

- Theo đề ra: 

- Do đó: d ⊥ Δ ⇔ k = -4 ⇔ -4m = -4 ⇔ m = 1