Hotline 0962 782 149

Các dạng bài tập toán lượng giác và phương pháp giải - Toán lớp 10

09:48:1226/05/2020

Ở nội dung lượng giác lớp 10, các em sẽ có thêm nhiều công thức giữa cung và góc lượng giác. Mặt khác, các bài tập lượng giác luôn đòi hỏi khả năng biến đổi linh hoạt giữa các công thức để tìm lời giải.

Vì vậy để giải các dạng bài tập toán lượng giác các em phải thuộc nằm lòng các công thức lượng giác cơ bản, công thức giữa cung và góc lượng giác. Nếu chưa nhớ các công thức này, các em hãy xem lại bài viết các công thức lượng giác 10 cần nhớ.

Bài viết này sẽ tổng hợp một số dạng bài tập về lượng giác cùng cách giải và đáp án để các em thuận tiện ghi nhớ và vận dụng với các bài tương tự.

» Đừng bỏ lỡ: Đầy đủ các công thức lượng giác cần nhớ

° Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước 1 giá trị tính các giá trị lượng giác còn lại

¤ Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10): Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

$small a)cosalpha =frac{4}{13};left ( 0<alpha <frac{pi }{2} ight )$ $small b)sinalpha =-0,7;left ( pi <alpha <frac{3pi }{2} ight )$

$small c)tanalpha =-frac{15}{7};left ( frac{pi }{2}<alpha <pi ight )$ $small d)cotalpha =-3;left ( frac{3pi }{2}<alpha <2pi ight )$

° Lời giải:

a) $small cosalpha =frac{4}{13}$

- Vận dụng công thức: $small sin^{2}alpha +cos^{2}alpha=1$

$small Rightarrow sin^{2}alpha =1-cos^{2}alpha =1-left ( frac{4}{13} ight )^{2}$ $small =1-frac{16}{169}=frac{153}{169}$

- Vì 0<α<π/2 ⇒ sinα>0, nên:

$small Rightarrow sinalpha =sqrt{frac{153}{169}}=frac{3sqrt{17}}{13}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=frac{3sqrt{17}}{13}:frac{4}{13}=frac{3sqrt{17}}{4}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=frac{4}{3sqrt{17}}$

b) small sinalpha =-0,7

- Vận dụng công thức: $small sin^{2}alpha +cos^{2}alpha=1$

$small Rightarrow cos^{2}alpha =1-sin^{2}alpha =1-(-0,7)^{2}=0,51$

- Vì π<α<(3π/2) ⇒ cosα<0, nên:

$small Rightarrow cosalpha =-sqrt{0,51}=-sqrt{frac{51}{100}}=-frac{sqrt{51}}{10}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=(-0,7):frac{-sqrt{51}}{10}=frac{7}{sqrt{51}}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=frac{sqrt{51}}{7}$

c) $small tanalpha =-frac{15}{7}$

- Áp dụng công thức: $small 1+tan^{2}alpha =frac{1}{cos^{2}alpha }$

$small Rightarrow cos^{2}alpha =frac{1}{1+tan^{2}alpha }=frac{49}{274}$

- Vì π/2<α<π ⇒ cosα<0, nên:

$small Rightarrow cosalpha =-sqrt{frac{49}{274}}=frac{-7}{sqrt{274}}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }Rightarrow sinalpha =cosalpha .tanalpha$ $small =frac{-15}{7}.frac{-7}{sqrt{274}}=frac{15}{sqrt{274}}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=-frac{7}{15}$

d) small cotalpha =-3

- Áp dụng công thức: $small 1+cot^{2}alpha =frac{1}{sin^{2}alpha }$

$small Rightarrow sin^{2}alpha =frac{1}{1+cot^{2}alpha }=frac{1}{1+9}=frac{1}{10}$

- Vì (3π/2)<α<2π ⇒ sinα<0, nên:

$small Rightarrow sinalpha =frac{-1}{sqrt{10}}$

+ $small cotalpha =frac{cosalpha }{sinalpha }Rightarrow cosalpha =cotalpha .sinalpha$ $small =(-3)frac{-1}{sqrt{10}}=frac{3}{sqrt{10}}$

+ $small tanalpha =frac{1}{cotalpha }=frac{-1}{3}$

* Ví dụ 2 (Bài 1 trang 153 SGK Đại Số 10): Tính giá trị lượng giác của góc

a) $small cos225^{0};sin240^{0};cot(-15^{0});tan75^{0}$

b) $small sinfrac{7pi }{2};cosleft ( -frac{pi }{12} ight );tanleft ( frac{13pi }{12} ight )$

° Lời giải:

a) Ta có: 225⁰= 180⁰ + 45⁰

- Nên $small cos225^{0}=cos(180^{0}+45^{0})=-cos45^{0}=frac{sqrt{2}}{2}$

+ Có: 240⁰ = 180⁰ + 60⁰

- Nên $small sin240^{0}=sin(180^{0}+60^{0})=-sin60^{0}=-frac{sqrt{3}}{2}$

+ Có: $small cot(-15^{0})=-cot15^{0}=-tan(90^{0}-15^{0})$

$small =-tan75^{0}=-tan(45^{0}+30^{0})=frac{tan45^{0}+tan30^{0}}{1-tan45^{0}.tan30^{0}}$

$small =-frac{1+frac{sqrt{3}}{3}}{1-1.frac{sqrt{3}}{3}}=-frac{3+sqrt{3}}{3-sqrt{3}}=-frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}=-(2+sqrt{3})$

+ Có: $small tan75^{0}=tan(45^{0}+30^{0})=frac{tan45^{0}+tan30^{0}}{1-tan45^{0}.tan30^{0}}$

$small =frac{1+frac{sqrt{3}}{3}}{1-1.frac{sqrt{3}}{3}}=frac{3+sqrt{3}}{3-sqrt{3}}=frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}=(2+sqrt{3})$

b) Có: $small sinleft (frac{ 7pi }{12} ight )=sinleft ( frac{pi }{3}+frac{pi }{4} ight ) =sinfrac{pi }{3}.cosfrac{pi }{4}+cosfrac{pi }{3}.sinfrac{pi }{4}$

$small =frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{2}}{2}+frac{1}{2}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$

+ Có: $small cosleft (frac{-pi }{12} ight )=cosleft ( frac{pi }{4} -frac{pi }{3} ight )= cosfrac{pi }{4}.cos frac{pi }{3}+sin frac{pi }{4}.sin frac{pi }{3}$

$small =frac{sqrt{2}}{2}.frac{1}{2}+frac{sqrt{2}}{2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{2}+sqrt{6}}{4}$

° Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Để chứng minh đẳng thức lượng giác A = B ta vận dụng các công thức lượng giác và biến đổi vế để đưa A thành A₁, A₂,... đơn giản hơn và cuối cùng thành B.

- Có bài toán cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh phản chứng.

* Ví dụ 1: Chứng minh: $small cosalpha (1+cosalpha )(tanalpha -sinalpha )=sin^{3}alpha$

° Lời giải:

- Ta có:

small VT=cosalpha (1+cosalpha )(tanalpha -sinalpha )

$small = cosalpha (1+cosalpha )(frac{sinalpha }{cosalpha } -sinalpha )$

small = (1+cosalpha )(sinalpha-sinalpha.cosalpha )

$small = sinalpha (1+cosalpha )(1-cosalpha ) = sinalpha (1-cos^{2}alpha )$

$small =sinalpha .sin^{2}alpha =sin^{3}alpha =VP$

- Vậy ta có điều phải chứng minh.

* Ví dụ 2 (Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10): Chứng minh các đẳng thức:

a) $small frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=frac{cota.cotb+1}{cota.cotb-1}$

b) $small sin(a+b).sin(a-b)=sin^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-cos^{2}a$

c) $small cos(a+b).cos(a-b)=cos^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-sin^{2}a$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small VT= frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=frac{cosa.cosb+sina.sinb}{cosa.cosb-sina.sinb}$

[Chia cả tử và mẫu cho sina.sinb, ta được]

$= frac{frac{cosa.cosb+sina.sinb}{sina.sinb}}{frac{cosa.cosb-sina.sinb}{sina.sinb}} =frac{frac{cosa}{sina}.frac{cosb}{sinb}+1}{frac{cosa}{sina}.frac{cosb}{sinb}-1}$

$small =frac{cota.cotb+1}{cota.cotb-1}=VP$

- Vậy ta được điều phảo chứng minh.

b) Ta có:

small VT = sin(a+b).sin(a-b)

small =(sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosb-cosa.sinb)

[Áp dụng hằng đẳng thức a²- b² = (a+b)(a-b)]

$small =sin^{2}a.cos^{2}a-cos^{2}a.sin^{2}b$

[Áp dụng công thức cos²α = 1 - sin²α]

$small =sin^{2}a(1-sin^{2}b)-(1-sin^{2}a).sin^{2}b$

$small =sin^{2}a -sin^{2}a .sin^{2}b-sin^{2}b+sin^{2}a.sin^{2}b$

$small =sin^{2}a -sin^{2}b$

[Áp dụng công thức sin²α = 1 - cos²α]

$small =(1-cos^{2}a)-(1-cos^{2}b)$

$small =cos^{2}b-cos^{2}a$

c) Ta có: small cos(a+b).cos(a-b)

$small =frac{1}{2}left [ cosleft (( (a+b)-(a-b) ight )+cosleft ( (a+b)+(a-b) ight ) ight ]$

$small =frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

[Áp dụng công thức cos2α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α] ta có:

• $small frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

$small =frac{1}{2}left [ 2cos^{2}b -1+1-sin^{2}a ight ]$

$small =frac{1}{2}left ( 2cos^{2}b -2sin^2a ight )=cos^2b-sin^2a$

• $small frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

$small =frac{1}{2}left [ 1- 2sin^{2}b +2cos^{2}a-1 ight ]$

$small =frac{1}{2}(2cos^2a-2sin^2b)=cos^2a-sin^2b$

° Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức lượng giác chứa góc α ta thực hiện các phép toán tương tự dạng 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước.

- Nếu kết quả bài toán sau rút gọn là hằng số thì biểu thức đã cho độc lập với α.

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 154 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:

a) $small sin(a+b)+sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )sin(-b)$

b) $small cosleft ( frac{pi }{4}+a ight )cosleft ( frac{pi }{4}-a ight )+frac{1}{2}sin^2a$

c) $small cosleft ( frac{pi }{2}-a ight )sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )-sin(a-b)$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small sin(a+b)+sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )sin(-b)$

small =sina.cosb+cosa.sinb+cosa.(-sinb)

small =sina.cosb+cosa.sinb-cosa.sinb=sina.cosb

b) Ta có:

$small cosleft ( frac{pi }{4}+a ight )cosleft ( frac{pi }{4}-a ight )+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ cosleft (( frac{pi }{4}+a) -( frac{pi }{4}-a) ight )+cosleft ( ( frac{pi }{4}+a) +( frac{pi }{4}-a) ight ) ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ cos2a+cosfrac{pi }{2} ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ 1-2sin^2a+0 ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}-sin^2a+frac{1}{2}sin^2a=frac{1}{2}left ( 1-sin^2a ight )=frac{1}{2}cos^2a$

c) Ta có:

$small cosleft ( frac{pi }{2}-a ight )sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )-sin(a-b)$

small =sina.cosb-left ( sina.cosb-cosa.sinb
ight )

small =sina.cosb- sina.cosb+cosa.sinb

small =cosa.sinb

* Ví dụ 2 (Bài 8 trang 155 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:

$small A=frac{sinx+sin3x+sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}$

° Lời giải:

- Ta có: small sinx+sin3x+sin5x

small =(sin5x+sinx)+sin3x

$small =2sinleft ( frac{5x+x}{2} ight ).cosleft ( frac{5x-x}{2} ight )+sin3x$

small =2sin3x.cos2x+sin3x

small =sin3x(2cos2x+1)

- Tương tự có: small cosx+cos3x+cos5x

small =(cos5x+ cosx)+cos3x

$small =2.cosleft ( frac{5x+x }{2} ight ).cosleft ( frac{5x-x}{2} ight )+cos3x$

small =2cos3x.cos2x+cos3x

small =cos3x(2cos2x+1)

- Vậy: $small A=frac{sinx+sin3x+sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}$

$small =frac{sin3x(2cos2x+1)}{cos3x(2cos2x+1)}=frac{sin3x}{cos3x}=tan3x$

° Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với α

¤ Phương pháp giải:

- Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi tương tự dạng 3.

* Ví dụ (Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10): Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) $small A=sinleft ( frac{pi }{4}+x ight )-cosleft ( frac{pi }{4}-x ight )$

b) $small B=cosleft ( frac{pi }{6}-x ight )-sinleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

c) $small C=sin^2x+cosleft ( frac{pi }{3}-x ight ).cosleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

d) $small D=frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small A=sinleft ( frac{pi }{4}+x ight )-cosleft ( frac{pi }{4}-x ight )$

$small =sinfrac{pi }{4}.cosx+cosfrac{pi }{4}.sinx-left ( cosfrac{pi }{4}.cosx+sinfrac{pi }{4}.sinx ight )$

$small =frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx-left ( frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx ight )=0$

⇒ Vậy biểu thức A=0 không phụ thuộc vào giá trị của x

b) Ta có:

$small B=cosleft ( frac{pi }{6}-x ight )-sinleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

$small =cosfrac{pi }{6}.cosx+sinfrac{pi }{6}.sinx-sinfrac{pi }{3}.cosx-cosfrac{pi }{3}.sinx$

$small =cosx.left ( cosfrac{pi }{6}-sinfrac{pi }{3} ight )+sinx.left ( sinfrac{pi }{6}-cosfrac{pi }{3} ight )$

small =cosx.0+sinx.0=0

(vì $small cosfrac{pi }{6}=sinfrac{pi }{3};sinfrac{pi }{6}=cosfrac{pi }{3}$ )

⇒ Vậy biểu thức B=0 không phụ thuộc vào giá trị của x

c) Ta có:

$small C=sin^2x+cosleft ( frac{pi }{3}-x ight ).cosleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

$small =sin^2x+left [ cosfrac{pi }{3}.cosx +sinfrac{pi }{3}.sinx ight ]left [ cosfrac{pi }{3}.cosx-sinfrac{pi }{3}.sinx ight ]$

$small =sin^2x+cos^2frac{pi }{3}.cos^2x-sin^2frac{pi }{3}.sin^2x$

$small =sin^2x+left ( frac{1}{2} ight )^2.cos^2x-left (frac{sqrt{3}}{2} ight )^2.sin^2x$

$small =sin^2x+frac{1}{4}cos^2x-frac{3}{4}sin^2x$

$small =frac{1}{4}sin^2x+frac{1}{4}cos^2x=frac{1}{4}left ( sin^2x+cos^2x ight )=frac{1}{4}$

⇒ Vậy biểu thức C=1/4 không phụ thuộc vào giá trị của x

d) Ta có:

$small D=frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$ $small =frac{2sin^2x+2sinx.cosx}{2cos^2x+2sinx.cosx}.cotx$

$small =frac{2sinx(sinx+cosx)}{2cosx(cosx+sinx)}.cotx$ $small =frac{sinx}{cosx}.cotx=tanx.cotx=1$

⇒ Vậy biểu thức D=1 không phụ thuộc vào giá trị của x.

° Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Vận dụng công thức và các phép biến đổi như dạng 2 và dạng 3.

* Ví dụ 1 (Bài 12 trang 157 SGK Đại số 10): Tính giá trị của biểu thức:

$small A=frac{2cos^2frac{pi }{8}-1}{1+8sin^2frac{pi }{8}.cos^2frac{pi }{8}}$

° Lời giải:

- Vận dụng công thức nhân đôi: cos2α = 2cos²α - 1 và sin2α = 2sinα.cosα

- Ta có: $small A=frac{2cos^2frac{pi }{8}-1}{1+8sin^2frac{pi }{8}.cos^2frac{pi }{8}}$

$small =frac{cosleft (2.frac{pi }{8} ight )}{1+2.left ( 2sinfrac{pi }{8}.cosfrac{pi }{8} ight )^2} =frac{cosfrac{pi }{4}}{1+2sin^2frac{pi }{4}}$

$small =frac{sqrt{2}}{2}:left [ 1+2.left (frac{sqrt{2}}{2} ight )^2 ight ]=frac{sqrt{2}}{2}:(1+1)=frac{sqrt{2}}{4}$

* Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: small A=sin15^0+tan30^0.cos15^0

° Lời giải:

- Ta có: small A=sin15^0+tan30^0.cos15^0

$small =sin15^0+frac{sin30^0}{cos30^0}.cos15^0$

$small =frac{1}{cos30^0}left ( sin15^0.cos30^0+cos15^0.sin30^0 ight )$

$small =frac{1}{cos30^0}.sin45^0 =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{2}{sqrt{3}}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{3}$

Qua một số ví dụ trên cho thấy, để giải bài tập lượng các em phải biến đổi linh hoạt, ghi nhớ các công thức chính xác. Mặt khác, có rất nhiều đề bài có thể hơi khác, nhưng qua một vài phép biến đổi là các em có thể đưa về dạng tương tự các dạng toán trên để giải.

Hy vọng với bài viết về các dạng bài tập toán lượng giác và phương pháp giải của Hay Học Hỏi ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Các dạng bài tập toán lượng giác và phương pháp giải - Toán lớp 10

Tags:

Đánh giá & nhận xét