Bài 7.32 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 7.32 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau và các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau.

a) y = –x + 1;

b) y = –2x + 1;

c) y = –2x + 2;

d)  y = –x.

Phân tích nhanh

Để xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$, chúng ta căn cứ vào các điều kiện sau:

• Song song ($d // d'$): Khi $a = a'$ và $b \neq b'$.

• Trùng nhau ($d \equiv d'$): Khi $a = a'$ và $b = b'$.

• Cắt nhau: Khi $a \neq a'$.

Giải Bài 7.32 trang 54 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Dựa vào các hệ số góc $a$ và tung độ gốc $b$ của từng đường thẳng, ta có bảng tổng hợp sau:

1. Các cặp đường thẳng song song

Hai đường thẳng song song khi có cùng hệ số góc $a$ nhưng khác tung độ gốc $b$.

• Cặp 1: $y = –x + 1$ và $y = –x$ (vì cùng có $a = –1$ và $1 \neq 0$).

• Cặp 2: $y = –2x + 1$ và $y = –2x + 2$ (vì cùng có $a = –2$ và $1 \neq 2$).

2. Các cặp đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng cắt nhau khi có hệ số góc $a$ khác nhau ($a \neq a'$).

• $y = –x + 1$ và $y = –2x + 1$ (vì $-1 \neq -2$).

• $y = –x + 1$ và $y = –2x + 2$ (vì $-1 \neq -2$).

• $y = –x$ và $y = –2x + 1$ (vì $-1 \neq -2$).

• $y = –x$ và $y = –2x + 2$ (vì $-1 \neq -2$).

Tổng kết kiến thức

• Hệ số góc quyết định độ dốc: Nếu hai đường thẳng có cùng độ dốc ($a = a'$), chúng sẽ không bao giờ gặp nhau (song song) hoặc chồng khít lên nhau (trùng nhau).

• Tung độ gốc quyết định vị trí cắt trục tung: Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại cùng một điểm trên trục $Oy$, chúng sẽ có cùng hệ số $b$. Ví dụ: đường thẳng (a) và (b) cắt nhau tại điểm $(0; 1)$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Chỉ xét hệ số $a$: Đôi khi học sinh thấy $a = a'$ là kết luận ngay song song mà quên kiểm tra điều kiện $b \neq b'$. Nếu $b = b'$ thì hai đường thẳng đó thực chất là một (trùng nhau).

• Liệt kê thiếu cặp: Khi đề bài cho nhiều đường thẳng, các em thường bị sót các cặp cắt nhau. Mẹo là hãy so sánh từng đường thẳng lần lượt với các đường thẳng còn lại.

• Nhầm lẫn dấu: Chú ý dấu âm của hệ số góc (ví dụ: $-1$ và $-2$ là khác nhau).

Mẹo giải nhanh

Trong các bài kiểm tra trắc nghiệm:

1. Nhóm các đường thẳng: Gom những đường có cùng hệ số $a$ vào một nhóm. Các đường trong cùng nhóm (nhưng khác $b$) sẽ song song với nhau.

2. Cắt nhau: Bất kỳ đường thẳng nào ở nhóm này cũng sẽ cắt tất cả các đường thẳng ở nhóm kia.